симостей и графиков. В частности, следует сравнить между собой силы трения и тяжести перегруза.
Краткие теоретические сведения
1. Динамика движения грузов в машине Атвуда
Рассмотрим движение системы, состоящей из двух грузов массами m и m + m1 и блока радиусом r с моментом инерции J и массой mбл, где m1 – масса перегруза.
Если грузы одинаковы, то потенциальная энергия системы не зависит от их высоты, так как убыль потенциальной энергии одного груза приводит к эквивалентному возрастанию потенциальной энергии другого. Когда грузы различны, изменение потенциальной энергии системы определяется положением перегруза массой m1.
Пусть правый груз с перегрузом m1 опустился по высоте на h. Тогда изменение потенциальной энергии системы равно:
Eп = −m1g h , |
(1) |
где g – ускорение свободного падения.
Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения, и часть её диссипирует в результате работы сил трения в системе (в основном в блоке). В случае пренебрежения силами трения (соответствующие рассчёты назовём теоретическими) в замкнутой системе приобретённая кинетическая энергия равна убыли потенциальной энергии:
E = − |
E = −m g h = J |
ω2 |
+(m +m ) |
v2 |
+ |
mv2 |
, |
(2) |
||
2 |
2 |
2 |
||||||||
к |
п |
1 |
1 |
|
|
|
||||
где ω = vr – угловая скорость вращения блока, первый член в правой части равенства представ-
ляет кинетическую энергию вращения блока, а остальные члены равны кинетическим энергиям поступательного движения обоих грузов.
Так как движение грузов происходит под действием постоянной силы, то оно является рав-
ноускоренным ( a = const ), и для него выполняются соотношения v = at , h = at2 . Подставляя
2
значения h, ω, v в (2), получим:
a = |
m1g |
|
|
= |
2m1g |
, |
(3) |
2m +m1 |
+ |
J |
4m +2m1 +mбл |
||||
|
r |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
где использовано выражение для момента инерции блока как для однородного диска,
J = mбл2r2
лучено без учёта сил трения. Обозначим его aтеор. Экспериментальное значение ускорения, определяемое по формуле:
h = |
at2 |
, |
(4) |
|
2 |
||||
|
|
|
будет отличаться от теоретического aтеор на величину, обусловленную силами трения:
a = aтеор −a ≈ |
Fтрск |
, |
(5) |
|
|||
|
2m +m1 |
|
|
где Fтр ск – сила трения скольжения, и равенство является приближённым, потому что здесь не учитывается (более сложная) зависимость от массы блока.
5
Силу трения покоя можно определить из эксперимента как: |
|
Fтрп = mmin g , |
(6) |
где mmin – минимальная масса перегруза, при которой система выходит из равновесия и начинает движение. Минимальную массу сложно определить её непосредственным подбором. Поэтому её находят из графика зависимости a(m1): минимальная масса перегруза равна массе, при которой экстраполированный график a(m1) пересекается с осью массы (т.е. где a равно нулю).
2.Основные понятия, законы и формулы динамики
Вдинамике изучают законы движения тел с учетом причин, вызывающих это движение. Различают динамику материальной точки и динамику твердого тела.
Механическое движение тел изменяется в процессе их взаимодействия друг с другом.
Меру взаимодействия тел, в результате которого тела деформируются или приобретают ускорение, называют силой. Сила – величина векторная, она характеризуется числовым значением, направлением действия и точкой приложения к телу.
Если к материальной точке приложено несколько сил F1, F2 ,…, Fn , их действие можно заме-
нить действием одной силы F , которая называется равнодействующей данных сил: |
|
F = F1 + F2 +…+ Fn = ∑Fi . |
(7) |
Если реально действующие силы заменены равнодействующей, то в дальнейшем нужно считать, что к частице приложено не несколько сил, а только одна – равнодействующая.
Основой динамики и всей классической механики служат три закона Ньютона, сформулированные для материальной точки и тел, движущихся поступательно в инерциальных системах отсчета.
I) Первый закон Ньютона. Если равнодействующая всех сил, приложенных к МТ, равна нулю, то точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения:
v = const приF = ∑Fi = 0 .
Это свойство, присущее всем телам, называют инерцией, а тела, им обладающие, – инертными. Мерой инертности тел является масса.
Из первого закона динамики следует, что свободное движение частиц с постоянной скоростью – движение по инерции – есть такое же естественное состояние частиц, как и покой. Каждая частица может двигаться с какой угодно постоянной скоростью без каких бы то ни было внешних воздействий со стороны, но изменить свое движение – сообщить себе ускорение – не может. Состояния покоя и равномерного прямолинейного движения с точки зрения динамики неразличимы.
II) Второй закон Ньютона. Скорость изменения импульса частицы равна силе, приложенной к частице, и происходит по направлению прямой, вдоль которой действует эта сила:
dp |
= F , |
(8) |
|
dt |
|||
|
|
где p = mv – импульс (количество движения) частицы,
F– сила, действующая на частицу.
Внерелятивистской механике масса не зависит от скорости (m = const). Тогда формула (8) эквивалентна формуле:
m |
dv |
= F . |
(9) |
|
dt |
||||
|
|
|
Это уравнение является основным уравнением динамики материальной точки. При его использовании нужно иметь в виду следующее. Действие сил на материальную точку не зависит друг от друга. Каждая из сил, приложенных к частице, сообщает ей такое ускорение, как если
6