P(A) = |
m |
|
(2.1) |
|
n . |
||||
|
|
|||
Пример. В группе 25 студентов. Из них 10 девушек и 15 юношей. Наугад выбирают одного студента. Найти вероятность того, что выберут юношу.
Решение. Искомая вероятность: Р (А) =15/25=3/5.
Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех случайных экспериментов, число исходов которых конечно, а сами исходы равновозможны и несовместны.
Свойства вероятности событий.
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Р(А)=1. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Р(А)=0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное значение, заключенное между нулем и единицей.0 ≤ Р(А) ≤ 1.
2.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
2.4.1. Сложение вероятностей несовместных событий
Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В, или обоих этих событий.
Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Р(А+В)=Р (А)+Р (В). |
(2.2) |
Для нескольких несовместных событий формула (2.2) имеет вид:
Р(А1 + А 2 + … + А k ) = Р(А1 ) + (А 2 ) +…+ Р(Аk ). |
(2.2а) |
Теорема 2. Сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу, равна единице.
Р(А1 ) + (А2 ) +…+ Р(Аk ) = 1. |
(2.3) |
Пример. Студент после занятий может пойти: домой с вероятностью р1=0,5, в библиотеку с вероятностью р2=0,1, в спортзал с вероятностью р3=0,1 и в кино с вероятностью р4=0,3.
Решение. Эти четыре события несовместны и образуют полную группу. Сумма
вероятностей всех событий равна: |
|
р1+р2+ р3+ р4=0,5 +0,1+0,1+0,3=1. |
|
Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. |
|
P(A) + P(А) =1. |
(2.4) |
Если вероятность события Р (А) обозначить через p, а события Р( A ) через q, то формулу (2.4) можно записать в виде:
p + q = 1. |
(2.5) |
Пример. Студент может сдать экзамен с вероятностью р=0,9. Какова вероятность, что студент не сдаст экзамен.
Решение. Эти два события противоположны и образуют полную группу.
Вероятность появления одного из двух несовместных событий из (2.5) равна: q = 1– р = 0,1.
2.4.2. Умножение вероятностей независимых событий
16
Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном
появлении этих событий. |
|
Теорема 4. Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного |
|
появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий. |
|
Р (А В) = Р(А) Р(В). |
(2.6) |
Запись Р(А) Р(В) можно представить в виде Р(А)∩Р(В). |
|
Пример. Студент должен сдать два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1 =0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2 =0,7. Какова вероятность, что студент сдаст два экзамена в сессию.
Решение. Событие А – сдать первый экзамен. Событие В – сдать второй экзамен. Оба события независимы. Событие А В – сдать два экзамена. Вероятность сдать два экзамена вычисляется по формуле (2.6).
Р(А В) = Р(А) Р(В) = р1 р2 = 0,7 0,8 = 0,56.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.
Р(А1 А2 … Аk) = Р(А1 ) (А2 ) … Р(Аn). |
(2.7) |
2.4.3. Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1 , А2 ,…,Аn), независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.
P (A) = 1 – q1 q2 ... qn . |
(2.8) |
Пример. Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2=0,7. Какова вероятность, что студент сдаст хотя бы один экзамен в сессию.
Решение. Вероятность события «не сдать первый экзамен» равна: q1 =1 – р1 =1– 0,8 = 0,2.
Вероятность «не сдать второй экзамен»: q2 =1– р2 =1– 0,7=0,3. Оба события независимы. Вероятность события Р(А), где событие А – «студент сдаст хотя бы один экзамен», вычисляется по формуле (2.8):
Р(А)=1 – q1 q2 =1– 0, 2 0, 3 =1– 0,06=0, 94.
2.4.4.Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность
Условной вероятностью, которая обозначается РA(В) или Р(В/А), называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.
Теорема 6. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную в
предположении, что первое событие уже произошло. |
|
Р (А В) = Р(А) РА(В). |
(2.9) |
Пример. Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к которому он не подготовился. Преподаватель в виде исключения разрешил взять второй билет. Какова вероятность того, что студенту во второй попытке достанется один из подготовленных билетов.
17
Решение. Обозначим событие «студент взял билет, к которому он не подготовился» через A. Обозначим событие «студенту достанется во второй попытке один из подготовленных билетов» через B.
Обозначим событие (А В/A) – взять первый билет, к которому он не подготовился, и второй из подготовленных билетов при условии, что, что первое событие уже произошло. Вероятность взять первый билет, к которому студент не подготовился: p(A)=8/20=2/5=0,4. Вероятность взять второй из подготовленных билетов при условии, что студент взял первый билет, к которому он не подготовился: pA(B) = 12/19 ≈ 0,63.
В результате, вероятность того, что студенту достанется один из подготовленных билетов, вычисляется по формуле (2.9):
Р(А В)=Р(А) РА(В) =2/5 12/19=24/95 ≈ 0,253.
Условная вероятность события Аk, определенная в предположении, что осуществились события А1, А2 ,… , Аk-1, обозначается: Р( Аk / А1 А2 ... Аk-1 ).
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
Р(А1 А 2 ... Аk ) = Р (А1) Р(А2/А1) Р(А3/А1А2)... Р (Аk/А1А2...Аk). |
(2.9а) |
2.5.5. Сложение вероятностей совместных событий
Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Р (А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В). |
(2.10) |
События в формуле (2.10) могут быть как зависимыми, так и независимыми. |
|
Для независимых событий: |
|
Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) Р(В). |
(2.11) |
Для зависимых событий: |
|
Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) РА(В). |
(2.12) |
Пример. Абитуриент подал заявления в два разных вуза по результатам ЕГЭ (на бюджетной основе). Обозначим вероятность попасть в первый вуз р1=0,5, во второй р2=0,3. Какова вероятность быть зачисленным абитуриенту хотя бы в один из вузов.
Решение. Каждое событие независимое. Для независимых событий выбираем формулу
(2.11).
Р (А+В) = Р(А)+Р(В) – Р(А) Р(В) = р1+ р2 – р1 р2 = 0,5 + 0,3 – 0,5 · 0,3=0,65.
Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. В случае трех совместных событий она имеет вид:
Р (А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС) .
В частном случае для несовместных событий А и В (т.е. когда А В = и Р(А В) = Р( ) = 0), формула (2.10) имеет вид: Р ( А + В ) = Р( А ) + Р( В ).
2.5.6. Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий H1, H2,..., Hn, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез: Р(H1), Р(H2), . . . ,Р(Hn) и условные вероятности: Р(А/H1), Р(А/H2), . . . ,Р(А/Hn).
Требуется найти вероятность Р(А).
18
Теорема 8. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H1, H2,...,Hn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.
n |
n |
|
P(A) = ∑P(A Hi ) = ∑P(Hi )P(А/ Hi ) |
(2.13) |
|
i =1 |
i =1 |
. |
Так как события Hi несовместны, то несовместны и события А Hi . Выражение (2.13) называется формулой полной вероятности.
Пример. В двух группах занимаются соответственно 20 и 30 студентов. В первой группе 5 отличников, во второй 6. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что вызванный наугад студент оказался отличником. Пусть события H1, H2 означают гипотезы (предположения), что студент из первой или второй группы.
Вероятность гипотез, что студент соответственно из первой или второй группы:
Р(H1) = р1 =20/50=0,4. Р(H2) = р2 =30/50=0,6. Проверка: р1+ р2=1.
Вероятность того, что выбранный студент – отличник учится в первой или второй группе по условию задачи:
Р(А/H1) = 5/20 = 0,25. Р(А/H2) = 6/30 = 0,2.
Вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником по формуле полной вероятности (2.13):
Р(А) = Р(H1) Р(А/H1)+Р(H2) Р(А/H2) = 0,4 0,25 + 0,6 0,2 = 0,1 + 0,12 = 0,22.
2.5.7. Формула Байеса
Пусть произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Вероятность события А можно вычислить по формуле (2.13). Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероятностей гипотез Hi, вычислив Р(Hi /А). По теореме умножения вероятностей:
|
|
Р( А Hi ) = Р( А ) Р(Hi /А ) = Р(Hi ) Р( А / Hi ). |
(2.14) |
|
|
P(Hi / A) = |
P(Hi ) P(А/ Hi ) |
|
|
Откуда: |
P(А) |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
||
или, вычислив Р(А) по формуле полной вероятности (2.13), получим:
P(Hi / A) = |
P(Hi ) P(А/ Hi ) |
|
n |
(2.15) |
|
|
∑P(Hi ) P(А/ Hi ) |
|
|
i=1 |
. |
|
|
Формулу (2.15) называют формулой Байеса. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в результате которого появилось событие А.
Пример. Условие из примера раздела 2.5.6. Событие А уже произошло. Вызванный наугад студент оказался отличником. Найти вероятность того, вызванный наугад студент оказался отличником из первой группы Р(H1/А).
Решение. Вероятность Р(А/H1) события « вызван студент-отличник при условии, что он является отличником из первой группы». Аналогично вероятность Р(А/H2) из второй группы. По формуле Байеса (2.14) получаем:
Р(H1/А) = Р(H1) Р(А / H1)/{Р(H1) Р(А / H1 )+ Р(H2) Р(А / H2)}= 0,4 0,25/0,22≈0,45.
19