9

§ 1.5. Компьютерное моделирование по заданию Модуля 4

Содержание компьютерного эксперимента:

Моделирование является проверкой произведенных расчетов нелинейных электрических цепей графическим методом. Исследуемая схема содержит источник постоянной ЭДС или тока, линейный элемент – резистор и нелинейный

– полупроводниковый диод и набор измерительных приборов. Следует помнить, что вольтметр включают параллельно исследуемому объекту, а амперметр – последовательно. Выбор типа источника определяется из условия схемы: источник постоянной ЭДС – для схемы с последовательным соединением, а источник постоянного тока – для схемы с параллельным соединением элементов. Схема соединения элементов указана в задании на расчет и изображена на рис.1

Выполнение компьютерного моделирования:

1.Необходимо вынести элементы электрической цепи из библиотек:

библиотека Sources – источник ЭДС или тока ;

библиотека Basic – резистор , сопротивление которого необходимо задать;

библиотека Diodes – реальный диод , тип которого выбирается из плей-листа(LD106 или RGL34A);

библиотека Indicators – измерительные приборы: вольтметры ,

амперметры .

2.Собрать виртуальную электрическую схему с нелинейным элементом согласно заданию, с подключенными измерительными приборами.

3.Выставить величину источника постоянного ЭДС или тока, извест-

ную из задания на расчёт или полученную в результате расчета графическим методом.

4.Вынести компонент «заземление» из библиотеки Sources и заземлить любую точку схемы.

5.Активизировать схему с помощью ключа в верхнем правом углу. Зафиксировать схему в программе Multisim 2001, с полученными данными.

6.Сравнить результаты моделирования с данными расчёта п. 3 задания модуля.

10

§ 1.6. Лабораторное исследование к заданию Модуля 4

Цель исследования: изучение влияния напряжения и воздушного зазора магнитопровода на ток и параметры катушки индуктивности с магнитопроводом; получение дополнительных исходных данных для выполнения задания.

Подготовка к экспериментальному исследованию:

1. Изучить теоретические вопросы:

•Элементы магнитной цепи.

•Свойства ферромагнитных материалов.

•Основные величины, характеризующие магнитное поле.

•Переменный магнитной поток в катушке с магнитопроводом.

•Влияние магнитопровода на форму кривой тока в катушке с магнитопроводом, включенной в цепь синусоидального напряжения.

•Идеализированная катушки с ферромагнитным сердечником.

•Схема замещения и векторные диаграммы реальной катушки с магнитопроводом.

2. Подготовить бланк протокола лабораторного исследования. Он должен содержать схему электрической цепи рис.1.1, таблицу 1.4, формулы для расчета параметров схемы замещения катушки с магнитопроводом.

Описание лабораторной установки

Исследуемая катушка индуктивности L и резистор R подключаются к входным зажимам лабораторного автотрансформатора T , входные зажимы ко-

11

торого подключены к источнику синусоидального напряжения. Напряжение на резисторе R повторяет форму тока в цепи, поэтому для исследования формы тока осциллограф PS подключается к его зажимам. Измерение тока, напряжения и активной мощности в различных режимах проводиться с помощью комплекта К-505.

Рис. 1.2. Схема экспериментальной установки

Содержание лабораторного исследования:

1.Провести экспериментальное исследование катушки с ферромагнитным сердечником с регулируемым воздушным зазором при питании от источника синусоидального напряжения.

2.По экспериментальным данным построить ВАХ и зависимости тока от

воздушного зазора магнитопровода при заданном согласно варианту напряже-

нии: I (δ ) при U = const .

3.Для расчета параметров схемы замещения нелинейной катушки по характеристике I (δ ) определить величину тока при заданном, согласно вариан-

ту, значении воздушного зазора δ3 .

Выполнение лабораторного исследования:

1.Познакомиться с оборудованием и измерительными приборами, используемыми для проведения эксперимента.

2.Собрать на испытательном стенде электрическую цепь (см. рис.1.2). Движок автотрансформатора T должен стоять на нуле.

3.Установить воздушный зазор в исследуемой катушке δ = 0. Изменяя напряжение с помощью автотрансформатора, устанавливать значение тока I от 0 до 5 А через 0,5 А и измерять соответствующие значения напряжения и активной мощности P . Полученные значения занести в таблицу 1.4.

12

4.Зарисовать с экрана осциллографа кривую, соответствующую форме тока в цепи катушки при токе I = 4 А.

5.Устанавливая зазоры δ = δ1 и δ = δ2 повторить п. 3 и п. 4.

6.Построить на одном графике три ВАХ катушки при различных воздушных зазорах в сердечнике.

7.Рассчитать зависимости z(I ) при различных воздушных зазорах, полу-

ченные значения занести в таблицу 1.4. Построить зависимости z(I ) на одном графике.

8.Построить зависимость тока через катушку от величины зазора в сердечнике I (δ ) при U = const (величина напряжения задается вариантом).

9.По характеристике I (δ ) определить значение тока при зазоре δ = δ3 величина которого задана вариантом.

§1.7. Краткая теория и примеры

1.АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА С НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕЗИСТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Нелинейными электрическими элементами являются элементы, параметры которых зависят от тока и напряжения. Цепи, содержащие такие элементы, именуемые электрическими нелинейными цепями, обладают рядом новых свойств, которые отсутствуют у линейных цепей. Эти свойства позволяют создать основанные на них автоматические системы управления и регулирования, устройства для преобразования электромагнитной энергии, устройства для производства электрических измерений и передачи информации, быстродействующие вычислительные машины и т.д. Особенностью и сложностью анализа нелинейных систем является невозможность применения принципа наложения.

К нелинейным электрическим цепям постоянного тока относятся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления, обладающие нелинейными вольт-амперными характеристиками, т.е. зависимость напряжения на зажимах резистивного нелинейного элемента от тока в нем задается его вольтамперной характеристикой (ВАХ).

Вольт-амперные характеристики могут быть заданы в виде графиков, таблиц и аналитических выражений.

Статическими называют характеристики, в которых каждая точка дает значение постоянного напряжения при соответствующем значении постоянного тока. Из них определяют статическое сопротивление и статическую проводимость нелинейного элемента

Rст = ui = f (i).

Электрическое состояние нелинейных цепей постоянного тока описывается системой алгебраических уравнений, составленных по первому и второму закону Кирхгофа. Общих аналитических методов решения нелинейных уравнений не существует, поэтому решение таких задач осуществляется численны-

13

ми методами с использованием ЭВМ. Однако существуют наиболее простые методы расчета цепей постоянного тока с резистивными элементами - графические и графоаналитические: метод эквивалентных преобразований и метод пересечения характеристик.

Метод эквивалентных преобразований для нелинейных цепей, так же как и для линейных, основан на замене нескольких элементов одним и сводится к нахождению ВАХ эквивалентного нелинейного элемента.

При расчете электрических цепей с последовательным или параллельным включением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений их вольт-амперные характеристики представляются в общей координатной системе и по ним строится общая вольт-амперная характеристика всей нелинейной электрической цепи.

а) При последовательном соединении нелинейных резистивных элементов, графически заданных своими вольт-амперными характеристиками, по оси абсцисс которых откладываются напряжения, а по оси ординат – ток, складываются абсциссы этих кривых для различных значений тока. Абсцисса каждой точки эквивалентного элемента при заданном токе находится как сумма соответствующих падений напряжения на сопротивлениях, поскольку при последовательном соединении по сопротивлениям протекает один и тот же ток цепи

(рис.1.3.).

U

U2

U1

E

Рис.1.3 К расчету электрической цепи с последовательным соединением нелинейных элементов.

15

мой, достаточно определить координаты двух точек, из опыта холостого хода и короткого замыкания. Напряжение холостого хода определяется по методу эквивалентного генератора. Точка пересечения линейной и нелинейной ВАХ получила название рабочей точки (рис.1.5.).

По второму закону Кирхгофа:

E = I R + U Д

При I = 0, Uab= Е; при UД = 0, I = ER .

Таким образом, из графика легко находятся ток в цепи и напряжение на нелинейном элементе, что представляют собой координаты точки пересечения.

IД

I I E

Рис. 1.5 К расчету электрических цепей с последовательным включением нелинейного и линейного элементов методом пересечений.

б) При параллельном соединении линейного и нелинейного резистивного элемента, графически заданного своей вольт-амперной характеристикой, решение задачи сводится к решению уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа, и будет определяться точкой пересечения нагрузочной прямой.

По первому закону Кирхгофа:

I = URab + IÄ .

При IД=0 Uab = I R;

При Uab=0 IД = I.

Координаты точки пересечения двух ВАХ линейной и нелинейной являются найденным решением задачи. Они определяют ток в нелинейном элементе и напряжение на нелинейном и линейном сопротивлении (рис.1.6.).

В соответствии со схемой замещения рассматриваемой нелинейной электрической цепи (рис.1.8, в) исходя из уравнения, составленного по второму за-

уравнением прямой в системе координат I5 и U12 (рис.1.8, б). Ee координаты определяются в режиме холостого хода – точка 1 (при I5=0; Ux=Eэк =22,5 В) и в

Ток I5 в цепи нелинейного сопротивления R5 и напряжение U12 на его зажимах определяют графическим способом как координаты точек пересечения вольт-амперной характеристики нелинейного элемента R5 (рис.1.8, б) с полученной прямолинейной зависимостью I5(U12). При этом I5 = 0,45 A, U12 = 6,75 B.

Пример. Для точки A вольт-амперной характеристики I(U) нелинейного элемента (рис.1.9) определить статическое Rст и дифференциальное Rд сопротивления.

I, мА

Рис.1.9. Вольтамперная характеристика.

Решение. Статическое сопротивление, соответствующее точке A вольт-

противление пропорционально тангенсу угла α, т.е. Rст = tg(α ) mr , где mr -

масштаб сопротивлений.

Дифференциальное сопротивление, соответствующее вольт-амперной ха-

сопротивление пропорционально тангенсу угла β.

2. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ

Магнитная цепь – часть электротехнического устройства, предназначенного для создания в определенном месте пространства магнитного поля требуемой интенсивности и направленности. Магнитные цепи составляют основу

19

практически всех электротехнических устройств и многих измерительных приборов.

В составе магнитной цепи имеются элементы, возбуждающие магнитное поле (одна или несколько намагничивающих обмоток или постоянные магниты) и магнитопровод (сердечник), выполненный в основном из ферромагнитных материалов. Использование ферромагнетиков обусловлено их способностью многократно усиливать внешнее магнитное поле, создаваемое намагничивающими обмотками или постоянными магнитами. Ферромагнетики отличает высокая магнитная проницаемость по сравнению с окружающей средой, что дает возможность концентрировать и направлять магнитные поля.

Магнитными цепями с постоянной магнитодвижущей силой (МДС) называются цепи, в которых магнитное поле возбуждается постоянными токами намагничивающих обмоток или постоянными магнитами.

При анализе и расчете магнитных цепей пользуются следующими величинами, характеризующими магнитное поле, приведенными в таблице 1.5.

Векторные величины, характеризующие магнитное поле Таблица 1.5

Основные скалярные величины, используемые при расчете магнитных цепей приведены в таблице 1.6.

Основные скалярные величины, характеризующие магнитную цепь Таблица 1.6.

21

B

Bmax

Br

-Br

Рис.1.10. Статическая петля гистерезиса.

Если начальное магнитное состояние материала сердечника характеризуется значениями H = 0, B = 0, то при плавном нарастании тока в обмотке полу-

чим нелинейную зависимость B(H ) , которая называется кривой первоначального намагничивания (рис.1.10 штриховая линия). Начиная с некоторых значений напряженности H магнитного поля индукция B в магнитопроводе практи-

чески перестает увеличиваться и остается равной Bmax . Эта область зависимо-

сти B(H ) называется областью технического насыщения.

Если, достигнув насыщения, начать плавно уменьшать постоянный ток в обмотке, т.е. уменьшать напряженность поля, то индукция также начнет

уменьшаться. Однако зависимость B(H ) уже не совпадет с кривой первоначального намагничивания (рис.1.10). При значительных отрицательных значениях напряженности магнитного поля снова наступит техническое насыщение ферромагнитного материала. Если теперь увеличивать ток прямого направле-

ния до насыщения, то будет получена замкнутая кривая B(H ) , которая называется предельной статической петлей гистерезиса ферромагнитного материала.

Предельный статический цикл гистерезиса ферромагнитных материалов

Hc > 20 30 кА/м называются магнито-твердыми.

На циклическое перемагничивание магнитопровода затрачивается мощность, выделяемая в нем в виде теплоты, которая называется мощностью потерь в магнитопроводе. Потери мощности в магнитопроводе (в стали) РСТ включает

22

в себя потери на гистерезис PГ и потери от вихревых токов PB , наводимых переменным магнитным потоком в металле магнитопродвода

РСТ=РГ+РВ.

Основные законы магнитных цепей

В основе расчета магнитных цепей лежат два закона (см. табл.1.7.).

Основные законы магнитной цепи

При анализе магнитных цепей и, в первую очередь, при их синтезе обычно используют следующие допущения:

- магнитная напряженность, соответственно магнитная индукция, во всех

-потоки рассеяния отсутствуют (магнитный поток через любое сечение неразветвленной части магнитопровода одинаков);

-сечение воздушного зазора равно сечению прилегающих участков магнитопровода.

Это позволяет использовать при расчетах выражения законов Кирхгофа и Ома для магнитных цепей (см. табл. 1.8), вытекающие из законов, сформулированных в таблице 3.

24

В общем случае магнитные цепи имеют сложную конфигурацию. Например, в электродвигателях, генераторах.

Магнитные цепи в большинстве нелинейны.

Задачей расчета неразветвленных магнитных цепей является в большинстве случаев определение МДС, необходимой для получения заданного значения магнитного потока в некотором участке магнитопровода. При этом должны быть известны конфигурация и геометрические размеры магнитной цепи и магнитные свойства ферромагнитного материала (кривая намагничивания). Такая задача называется прямой.

Расчет неразветвленной магнитной цепи по заданному потоку

Рассмотрим последовательность расчета магнитной цепи изображенной на рисунке 1.11.

I

l1

S1

δ

S2

l2

Рис.1.11. Неоднородная магнитная цепь.

Дано: геометрические размеры магнитной цепи в мм; магнитный поток Ф

или индукция B в каком-либо сечение; кривая намагничивания H (B) . Определить: МДС F .

Задачу решаем, применив закон полного тока ∑Hklk = Iw.

1. Разбиваем магнитную цепь на участки постоянного сечения и опреде-

ляем длинны lk (м) участков и площади их поперечного сечения Sk (м2). Длины участков берем по средней силовой линии. Величина воздушного зазора

равна 2δ (м).

l1, l2 , 2δ , S1 , S2

2. Исходя из постоянства магнитного потока Ф (δ << l1 ), пренебрегая потоком рассеяния, по заданному потоку находим магнитную индукцию B (Тл) на участках:

25

Между расчетами нелинейных магнитных цепей с постоянными МДС и расчетом нелинейных электрических цепей постоянного тока нетрудно установить аналогию.

Если в уравнении (3) заменить значение напряженности магнитного поля значениями индукции, получим:

где μμ0Sk = RМк - магнитное сопротивление к-го участка магнитопрово-

да. Оно нелинейно, т.к. зависимость B(H ) нелинейна.

С учетом этого рассматриваемой магнитной цепи соответствует эквивалентная схема замещения (рис.1.12), для анализа которой можно пользоваться всеми методами анализа электрических цепей с нелинейными сопротивлениями.

Рис.1.12. Эквивалентная схема замещения.

Обратная задача. Считая известной м.д.с. F , определим магнитный поток

Ф.

26

Рис.1.13. Алгоритм решения обратной задачи.

Произвольно задаемся магнитным потоком Ф и определяем магнитную индукцию В

B = ФS ,

далее по заданной кривой намагничивания (рис.1.13, а) определяем напряженность Н.

При заданном значении Ф определяем F по второму закону Кирхгофа

(рис.1.13, б).

F = Hl1 + 2Нδ δ + Hl2 .

Производим аналогичный расчет для нескольких точек. Строим зависимость Ф = f(F). Истинное значение Ф определяем по точке пересечения полученной кривой и заданной м.д.с. F (рис.1.14).

Ф

Ф

F

F

Рис.1.14. Зависимость магнитного потока от намагничивающей силы.

Пример. В неразветвленной магнитной цепи с длинной средней линии 0,4 м и воздушным зазором δ = 2 мм необходимо создать магнитную индукцию B =1 Тл. Магнитопровод выполнен из электротехнической стали 1512. Определить напряженность поля в магнитопроводе и воздушном зазоре, ток намагничивающей обмотки с числом витков w = 300 .

напряженность поля магнитопровода H = 94 А/м. Намагничивающая сила обмотки по закону полного тока

Iw = Hl + Hδ δ = 37,5 +1600 =1637,5 А.

Следовательно, ток обмотки I = 5,46 А.

27

Рис.1.15. Кривые намагничивания стали.

Пример. На кольцевой однородный магнитопровод (рис.1.16) намотана намагничивающая обмотка с числом витков w = 150 . Наружный диаметр коль-

ца D = 140 мм; внутренний диаметр d = 80 мм, его поперечное сечение квадратное. Определить ток и магнитодвижущую силу обмотки, необходимые для

создания в магнитопроводе потока Φ = 1,53 10−3 Вб. Чему равно магнитное сопротивление магнитопровода, если он выполнен из электротехнической стали

3411?

Ф

I

W

Рис.1.16.Кольцевой однородный магнитопровод

шись рис.1.7 для стали 3411, можно найти напряженность магнитного поля

H = 3000 А/м.

Катушка индуктивности с магнитопроводом в цепи синусоидального напряжения

Основным элементом конструкции различного рода электрических машин и аппаратов, устройств электроавтоматики, промышленной электроники, вычислительной техники является катушка индуктивности.

При наличие магнитопровода в катушке индуктивности (такая катушка называется дросселем) значительно возрастает магнитный поток, так как магнитная проницаемость ферромагнитного сердечника на несколько порядков больше магнитной проницаемости воздуха.

При подключении катушки с магнитопроводом к источнику синусои-

ность которого характеризуется магнитной индукцией B и магнитным потоком

Ф.

В реальном дросселе большая часть магнитных линий замыкается по сердечнику (основной магнитный поток). Другая часть магнитных линий охватывает отдельные витки и группы витков обмотки, замыкается по воздуху и, час-

тично, по магнитопроводу (поток рассеяния Фрас рис.1.17).

Рис.1.17. Катушка индуктивности с магнитопроводом. Переменный магнитный поток индуктирует в обмотке ЭДС самоиндук-

30

Из графика видно, что при синусоидальном потоке из-за нелинейности

характеристики B(H ) , т.е. Ф(i) ток несинусоидален. Ток и магнитный поток достигают максимальных значений одновременно, но ток опережает магнитный поток по фазе на угол α .

Следовательно, при питании синусоидальным напряжением ток в катушке с ферромагнитным сердечником искажает свою форму и является несинусоидальным во времени.

Для упрощения расчетов несинусоидальный ток заменяют эквивалентным синусоидальным, имеющим одинаковое с несинусоидальным током действующее значение и развивающим одинаковую с ним активную мощность.

Схема замещения и векторная диаграмма реальной катушки с магнитопроводом

Обмотка реальной катушки с сердечником обладает активным сопротив-

лением Rобм.. Магнитный поток является векторной суммой основного потока в магнитопроводе и потока рассеяния

Фр = Ф+ Фσ .

Величина основного потока Ф определяется свойствами материала маг-

нитопровода. Поток рассеяния Фσ зависит от конструкции обмотки, взаимного

расположения витков, их сечения и составляет 3 5% от основного потока. Потокосцепление рассеяния пропорционально току:

ψ рас = Lрас i ,

где Lрас - индуктивность рассеяния обмотки.

С учетом активного сопротивления обмотки RM и потокосцепления рас-

Таким образом, реальную катушку с магнитопроводом можно предста-

вить схемой замещения в виде последовательного соединения Rобм , Lрас и идеализированной катушки (рис.1.19). У идеализированной катушки обмотка не имеет сопротивления и рассеяния. Свойства идеализированной катушки зависят только от параметров магнитопровода и режима его намагничивания.

32

При учете потерь, обусловленных гистерезисом и вихревыми токами в

сердечнике (зависимость B(H ) петлевая), ток в обмотке катушки опережает магнитный поток на угол потерь α и может быть разложен на две составляющие.

Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением U0 и на-

зывается током потерь Ia = Iп , она определяется через мощность потерь в стали.

Реактивная составляющая тока отстает от напряжения U0 на 90° , называется током намагничивания I p = Iμ и определяется из закона полного тока.

Заменив идеализированную катушку последовательным соединением Rп

и X L получаем схему замещения реальной катушки для рассматриваемого слу-

чая (рис.1.21,а)

Рис.1.21. Последовательная и параллельная схема замещения нелинейной катушки индуктивности.

Переход от последовательной схемы замещения идеализированной катушки к параллельной (рис.1.21,б) проводится по формулам:

Векторная диаграмма реальной катушки индуктивности с магнитопроводом, имеющим петлевое намагничивание представлена на рис.1.22.

33

jX рас I

Rобм I

U

U 0

I

α I п Ф

I μ

Рис.1.22. Векторная диаграмма реальной нелинейной катушки индуктивности.

При расчетах полное сопротивлении катушки индуктивности с магнито-

индуктивным сопротивлением X L = ω L ( X L >> Rобм).

Приближенно, пренебрегая активным сопротивлением обмотки и рассея-

Пример. Катушка со стальным сердечником подключена к источнику си-

нусоидального напряжения U =120 В, частотой f = 50 Гц. Действующее значение тока в обмотке катушки I =10 А, мощность потерь P =150 Вт. Сопро-

тивление обмотки Rобм = 0,5 Ом.

Определить параметры схемы замещения нелинейной катушки. Магнитным рассеянием пренебречь.

Рис.1.23. Реальная нелинейная катушка индуктивности.