I = |
ε |
|
R + r . |
(22.11) |
Как наглядно изобразить процесс, протекающий в замкнутой цепи постоянного тока?
A
B
Eст
Рис. 22.3
Точка А – соответствует положительной клемме источника, т. В – соответствует отрицательной клемме источника.
Процесс протекания тока можно представить так (рис. 22.3): положительные заряды – носители соскальзывают по наклонному желобу от точки А к точке В по внешнему участку цепи. Внутри источника от точки В к точке А их перемещают сторонние силы.
§23. Разветвлённые электрические цепи. Правила Кирхгофа
Расчет разветвлённых цепей, например нахождение токов в отдельных ветвях, значительно упрощается, при пользовании правилами Кирхгофа.
Узлом разветвлённой цепи называется точка, в которой сходятся три или более проводника. Ток текущий к узлу считается имеющим знак (+I), из узла – знак (–I).
Ветвью электрической цепи – называется участок цепи вдоль которого проходит один и тот же ток.
Первое правило Кирхгофа относится к узлам разветвлённых цепей.
n
∑ Ii = 0 (23.1)
i=1
Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна 0.
Первое правило Кирхгофа вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счёте, из закона сохранения заряда.
Первое правило Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но независимыми являются только (N – 1) уравнения, N-е будет следствием из них.
Второе правило Кирхгофа относится к любому, выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру.
Контур – любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по любым ветвям цепи.
12
I |
2 |
1 |
-+
+ |
- |
|
|
|
|
R1 |
|
R2 |
|
R3 |
I 2 |
|
|
|
1 |
- |
3 |
|
+ |
E
Рис. 23.1
Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.
∑ Ii Ri =∑ε k |
(23.2) |
|
i |
k |
|
Для доказательства рассмотрим контур:
Пусть обход контура совершается по часовой стрелке: тогда для каждого участка согласно, закон Ома:
I1R1 = (ϕ1 − ϕ2 ) + ε1
I2 R2 = (ϕ2 − ϕ2 ) + ε 2
I3 R3 = (ϕ3 − ϕ1 ) + ε 3
I1R1 + I2 R2 + I3R3 = ε1 + ε 2 + ε 3 ∑Ii Ri =∑ε k . i k
(23.3)
(23.4)
Таким образом, второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.
Составление системы уравнений
Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему уравнений, из которых могут быть найдены, например, все неизвестные токи.
3 х
x 2 |
4 |
1 x
Рис. 23.2
По 1 и 2 правилам Кирхгофа уравнений нужно составлять столько, сколько неизвестных величин, но надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других.
13
По 1 правилу Кирхгофа следует для цепи из N узлов записать (N – 1) независимых уравнений. По второму правилу Кирхгофа составлять уравнения только для независимых контуров.
Независимыми контурами являются те, которые нельзя составить наложением уже рассмотренных контуров. Число независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа оказывается равным числу наименьших разрывов, которые нужно сделать, чтобы нарушить все контуры. Для такого контура (рис. 23.2) число независимых уравнений, составленных по 2-ому правилу Кирхгофа – 3.
При составлении уравнений по правилам Кирхгофа необходимо поступать так:
1.Произвольным образом выбрать направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи. Если при расчётах искомый ток получается отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному.
2.Выбрать направление обхода контура. Произведение Ii Ri считается положительным, если направление обхода и направление тока на данном участке совпадает, и считается отрица-
тельным (–Ii Ri), если направление обхода и направление тока на данном участке не совпадают. ЭДС берётся со знаком (+) если она действует в направлении обхода, или со знаком (–) если
против.
3. Составить столько уравнений по 1 и 2 правилам Кирхгофа, сколько неизвестных, и решить систему уравнений.
Модели: Цепи постоянного тока ОФ 1.0; Видеозадачи: 1) Загадка для лентяев; 2) Задуем лампочку – Видеозадачник, ч1, 3
§24. Закон Джоуля – Ленца
При протекании тока через проводник, обладающий сопротивлением, проводник нагревается (если он неподвижен и в нём нет химических превращений, то работа тока расходуется на нагревание проводника). Определим количество теплоты, выделяющегося в единицу времени на участке цепи. Рассмотрим однородный и неоднородный участки цепи, будем использовать закон Ома и закон сохранения энергии.
1)Однородный участок цепи
Рассчитаем работу, которую совершают силы поля над носителями тока на участке 1–2 за время dt. Сила тока в проводнике I, разность потенциалов между точками 1 и 2 – (ϕ1 – ϕ2). Тогда: dq = Idt – такой заряд протечёт через поперечное сечение участка 1-2.
dA = dq(ϕ1 − ϕ2 ) = I (ϕ1 − ϕ2 )dt |
(24.1) |
работа, совершаемая при перенесении заряда dq через поперечное сечение проводника на участке 1–2, силами поля.
14
dS |
j |
E
dl
Рис. 24.1
Согласно закону сохранения энергии, энергия, эквивалентная этой работе, выделяется в виде тепла, если проводник неподвижен и в нём не происходят химические превращения, т.е. проводник нагревается. Носители тока (в металлах электроны) в результате работы сил поля приобретают дополнительную кинетическую энергию, а затем расходуют её на возбуждение коле-
баний решётки при столкновении с её узлами-атомами. Тогда: |
|
|||
dA = I(ϕ − ϕ |
2 |
)dt = |
I 2 Rdt . |
(24.2) |
1 |
|
|
|
|
Т.к. (ϕ1 − ϕ2 ) = IR , проинтегрировав, получаем: |
|
|
||
A = I 2 Rt , |
|
(24.3) |
||
но т.к. |
|
|
|
|
Q = A = I 2 Rt |
= IUt |
= U 2t . |
(24.4) |
|
|
|
|
R |
|
Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца для однородного участка цепи в интегральной форме записи. Если сила тока изменяется со временем, то количество теплоты, выделяющееся
за время t вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Q = ∫t |
I 2 Rdt |
(24.5) |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Получим дифференциальную форму записи закона Джоуля-Ленца. |
|
||||||||
j = |
I |
; |
R = ρ |
A |
; dSdl = dV – величина элементарного объема. |
|
|||
|
S |
|
|||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dQ = dA = I 2 Rdt = ( jdS )2 ρ |
dA |
dt = pj2dVdt |
(24.6) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
Формула (24.6) определяет тепло, выделяющееся во всём проводнике, можно перейти к выражению, характеризующему выделение тепла в различных местах проводника. Выделим в проводнике элементарный объём в виде цилиндра. Согласно закону Джоуля-Ленца за время dt в этом объеме выделяется тепло.
Разделив это выражение на dV и dt, найдём количество тепла, выделяющееся в единице объ-
ема в единицу времени, эту величину назвали удельной тепловой мощностью тока ω.
15
Удельная тепловая мощность тока – это количество теплоты выделяющееся в единицу времени в единице объема проводящей среды.
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
||
|
dQ |
|
= ρj2 |
dVdt |
; |
(24.7) |
||
|
dVdt |
dVdt |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dQ |
= ω , |
|
(24.8) |
||
|
|
dVdt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
то |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ω = ρj2 . |
|
(24.9) |
|||
Формула (24.9) – дифференциальная форма записи закона Джоуля-Ленца. Сформулируем его:
Удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.
Уравнение ω = ρj2 применимо к любым проводникам вне зависимости от их формы, одно-
родности и от природы сил, возбуждающих электрический ток. Если на носители тока действуют только электрические силы, то, согласно закону Ома:
Gj = EG = σEG , и ω = ρj2 , то
ρ
ω = jE = σE 2 . |
(24.10) |
Это уравнение имеет менее общий характер, чем уравнение ω = ρj2 .
2)Неоднородный участок цепи
На неоднородном участке цепи на носители тока действуют не только электрические, но и сторонние силы, т.к. участок цепи содержит источник ЭДС. Тогда по закону сохранения энергии в неподвижном проводнике выделяемая теплота равна энергии, т.е. алгебраической сумме работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям: тепловая мощность должна быть равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил:
P = UI = (ϕ1 − ϕ2 )I + ε12 I |
(24.11) |
P = UI – выделяющаяся на участке тепловая мощность. При наличии сторонних сил величина тепловой мощности определяется по той же формуле, что и для однородного участка цепи. Последнее слагаемое в правой части формулы: ε I – представляет собой мощность, развиваемую сторонними силами на данном участке цепи, но величина ε I – алгебраическая, в отличие от величины P = UI она изменяет знак при изменении направления тока I. Таким образом, данная формула означает, что тепловая мощность, выделяемая на участке цепи между точками 1 и 2, равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Сумму этих мощно-
16