Министерство образования и науки РФ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

Г. Д. ДМИТРЕВИЧ, В. А. Павлушин

Методы оптимизации

Методические указания к лабораторным работам

Санкт-Петербург

2004

Оглавление

Лабораторная работа 1. Исследование методов одномерного поиска минимума унимодальных функций 3

Лабораторная работа 2. Исследование методов полиномиальной интерполяции для поиска минимума целевых функций 5

Лабораторная работа 3. Исследование методов линейного поиска 7

Лабораторная работа 4. Исследование градиентных методов 8

Лабораторная работа 5. Проектирование программы оптимизации 10

Лабораторная работа 6. Исследование модификаций ньютоновских оптимизационных процессов 11

Лабораторная работа 7. Исследование методов безусловной оптимизации первого порядка 13

Лабораторная работа 8. Исследование методов безусловной оптимизации нулевого порядка 14

Лабораторная работа 9. Исследование алгоритмов случайного поиска 16

Приложения 17

Приложение 1. Метод средней точки (метод Больцано) 17

Приложение 2. Метод трехточечного поиска на равных интервалах 17

Приложение 3. Метод Ньютона 18

Приложение 4. Метод линейной интерполяции (метод секущих) 18

Приложение 5. Метод кубической интерполяции для одномерной минимизации 19

Приложение 6. Метод Фибоначчи 20

Приложение 7. Метод Зангвилла 21

Приложение 8. Алгоритм LPт поиска 21

Приложение 9. Минимизация целевых функций в Microsoft Ecxel 8.0 22

Приложение 10. Тестовые функции 31

Список рекомендуемой литературы 36

Лабораторная работа 1. Исследование методов одномерного поиска минимума унимодальных функций

1. Требования задания

Целью работы является изучение методов одномерной минимизации функций одной переменной;

М1 - метода Свенна - золотого сечения - 1;

М2 - метода Свенна - золотого сечения - 2;

М3 - метода Свенна - Фибоначчи - 1;

М4 - метода Свенна - Фибоначчи - 2;

М5 - метода Свенна - дихотомии - Ньютона;

М6 - метода Свенна - трехточечного поиска - линейной интерполяции;

М7 - метода Свенна - Больцано - золотого сечения - 1;

М8 - метода Свенна - Больцано - Фибоначчи - 2.

Таблица тестовых функций

№	Функция f(x)	Начальная точка x1	Точность локализации минимума eps	Значение минимумах*
(1)	2х2+ 3е-х	1	10-3	0.469150
(2)	-е-х -ln(х)	0	10-4	1.763223
(3)	2х2– ех	1	10-3	0.357403
(4)	х4 - 14х3 + 60х2 - 70х	2	10-2	0.780884
(5)	4х3- 3х4, если х≥0 f(x) = 4х3+ 3х4, если х<0	0,4	10-3	-1.000000
(6)	х2+2х	4	10-2	-1.000000
(7)	2х2+ 16/х	1	10-2	1.587401
(8)	(10х3+ 3х2+ х + 5)2	2	10-2	-0.859902
(9)	3х2+ (12/х3) - 5	0,5	10-2	1.430969

Варианты задания

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8
Метод	М1	М2	М3	М4	М5	М6	М7	М8
Тестовая функция	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)

2. Контрольные вопросы

1. Сравните метод золотого сечения, Фибоначчи и дихотомического поиска по числу вычислений значений функций для достижения заданной точности при локализации минимума.

2. Укажите отличие метода золотого сечения - 1 от метода золотого сечения - 2.

3. Как сокращается текущий интервал локализации минимума в методах Фибоначчи-1 и Фибоначчи-2?

4. Определите достоинства и недостатки методов Ньютона и трехточечного поиска.

5. Что такое унимодальная функция и каково ее значение в теории оптимизации?

6. Можете ли сформулировать необходимые и достаточные условия минимума функции одной переменной? Как преобразовать задачу на поиск максимума в задачу на минимум?

7. Характерные особенности организации одномерного поиска.

8. Дайте геометрическую интерпретацию 2-х способов выбора последних точек в методе Фибоначчи.

1. Содержание отчета

1. Цель работы и требования задания.

2. Краткое описание метода оптимизации на основании материала лекционного курса и описание схемы пошагового выполнения вычислительного алгоритма.

3. Блок-схема программы с пояснением основных ее частей.

4. Спецификация программы, раскрывающая смысл входных и выходных данных, основных переменных и функций.

5. Текст программы с детальными комментариямиведущих операторов программы.

6. Результаты тестирования программы на наборе целевых функций с указанием числа итераций и числа вычислений функций. Таблица, иллюстрирующая вычислительный процесс и изменение ключевых переменных.

7. Результаты сравнения по числу итераций заданных методов оптимизации при использовании различных критериев окончания поиска, при выборе разных начальных точек x¹и при задании различных значений погрешности локализации минимума.

8. Графическая интерпретация процесса оптимального поиска на поле графика целевой функции, построенного средствами Matlab[1].

9. Ответы на контрольные вопросы.

10. Выводы по работе.