Проверка статистических гипотез

К числу проблем, решаемых при обработке результатов измерений, относится и проверка гипотез. Задача проверки гипотез состоит в том, чтобы установить, противоречит выдвинутая гипотеза экспериментальным данным или нет. Так как результаты измерений сопровождаются случайными погрешностями, то на их основании невозможно с абсолютной достоверностью ни подтвердить, ни отвергнуть выдвинутую гипотезу, т.е. всегда существует отличная от нуля вероятность принятия ошибочного решения. Поэтому проверка гипотез осуществляется на основе статистических алгоритмов (решающих правил), а сами выдвигаемые гипотезы называются статистическими.

Пусть относительно некоторого параметра распределения случайной величинывыдвинута гипотеза, заключающаяся в том, что его значение равно. В результате измерений получена оценкаэтого параметра, на основе которой экспериментатор должен либо принять, либо отвергнуть выдвинутую гипотезу. Для этого он должен ответить на вопрос: как сильно оценкадолжна отличаться от, чтобы принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу? При этом следует учитывать, что отличие оценкиот значенияможет быть вызвано, во-первых, случайным характером оценки и, во-вторых, неравенством истинного значениязначению. Таким образом, если отличиеотможет быть объяснено чисто случайными причинами, то выдвинутая гипотеза принимается, в противном случае она отклоняется.

Предположим, что известна плотность распределения оценки. Изобразим ее графически (рис.3), полагая, что выдвинутая гипотезаверна, т.е.. Установим две границыии сформулируем следующее решающее правило: если, то гипотеза принимается; еслиили, то гипотеза отклоняется.

При этом может быть принято ошибочное решение, причем вероятность ошибки равна

.

Рис. 3.

Рассмотрим другой пример задачи проверки гипотез. Пусть некоторый параметр распределения случайной величины может принимать только одно из двух значений:или. На основании экспериментально полученной оценкинеобходимо решить, какое значениеимело место в эксперименте. В данном случае необходимо проверить гипотезу(так называемую нулевую гипотезу) против альтернативнай гипотезы. На рисунке 4 изображена плотность распределениякак при условии справедливости нулевой гипотезы, так и при условии справедливости альтернативной гипотезы.

Рис. 4.

Установим границу и сформулируем решающее правило: если, то принимается нулевая гипотеза; если, то принимается альтернативная гипотеза.

Обозначим следующие вероятности:

;.

При принятии решения в соответствии с указанным решающим правилом возможны четыре ситуации:

1. нулевая гипотеза верна, но отклоняется. При этом имеет место ошибка 1-го рода (иногда называемая ложной тревогой), вероятность которой равна - уровню значимости;

2. альтернативная гипотеза верна, но отклоняется. При этом имеет место ошибка 2-го рода, вероятность которой равна ;

3. нулевая гипотеза верна и принимается. Вероятность такого события равна ;

4. альтернативная гипотеза верна и принимается. Вероятность этого равна и называется мощностью решающего правила.

Рассмотрим конкретные простейшие задачи проверки статистических гипотез.