1. Введение

Как известно, измерение является процессом получения информации о свойствах физических объектов, поэтому с помощью измерений решаются самые разнообразные физические задачи, требующие применения широкого спектра методов обработки результатов измерений.

Так как все измерения сопровождаются случайными погрешностями, то обработка результатов измерений всегда включает в себя операции над случайными величинами или процессами, в основе которых лежат методы теории вероятностей и математической статистики.

Поскольку результаты измерений являются случайными величинами, то с их помощью невозможно получить истинные значения измеряемых параметров. Речь может идти только о нахождении некоторых оценок данных параметров, которые сами тоже будут являться случайными величинами.

Чтобы оценка некоторой измеряемой величиныбыла в определенном смысле "хорошей", она должна удовлетворять следующим критериям [1, 2]: оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа опытов оценкаприближается к истинному значению. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению, т.е. . Несмещенная оценка не содержит систематической погрешности. Оценка называется эффективной, если по сравнению с другими она обладает наименьшей дисперсией, т.е. .

Получение "хороших" оценок требует определения критерия их сравнения. Если таковой установлен, то наилучшей оценкой будет та, которая обеспечит экстремум этого критерия. На практике наибольшее распространение получил метод максимального правдоподобия (ММП).

В ММП в качестве критерия оптимальности оценок используется функция правдоподобия, представляющая собой плотность вероятности всей совокупности экспериментальных данных. Искомые оценки находятся из условия максимума функции правдоподобия, что фактически соответствует максимуму вероятности получения именно тех результатов измерения, которые были получены в опытах.. Вычисление функции правдоподобия требует знания вида закона распределения погрешностей измерений. В случае, когда погрешности имеют нормальный закон распределения, ММП сводится к методу наименьших квадратов (МНК), в котором в качестве критерия сравнения оценок используется сумма квадратов отклонений результатов измерений от полученной оценки измеряемой величины (или функции).

Наряду с получением оценки искомой величины в виде одного числа (точечное оценивание) широкое распространение получило оценивание с помощью доверительных интервалов.

Доверительным интервалом называется интервал значений оцениваемой величины, который с заданной вероятностью (доверительной вероятностью) накрывает истинное значение этой величины. Доверительный интервал является случайным интервалом: случайны его положение и длина, вычисляемые, как правило, по опытным данным.

2. Обработка результатов прямых измерений

2.1. Точечное оценивание

Пусть истинное значение измеряемой величины равно c (оно неизвестно), и проведено аналогичных измерений, результаты которых равны . Данную последовательность извеличин называют выборкой, элементы которой равны:

, (1)

где – погрешность наблюдений в-м измерении. По результатам наблюденийнеобходимо найтиоценку неизвестного параметра.

Относительно погрешностей сделаем следующие предположения:

1. погрешность является случайной величиной с нормальным законом распределения, символически это можно записать

2. математическое ожидание погрешности , т.е. отсутствует систематическая погрешность;

3. погрешность имеет дисперсию, одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные;

4. погрешности отдельных наблюдений независимы.

Тогда плотность распределения любого результата запишется в виде:

. (2)

Так как результаты отдельных наблюдений независимы, то плотность распределения системы случайных величин представляющая собой функцию правдоподобия выборки, будет иметь вид:

. (3)

Найдем оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра, используя результаты наблюдения (1). Она выбирается так, чтобы придостигалось

. (4)

Из (3) следует, что для выполнения (4) необходимо, чтобы

(5)

Условие (5) совпадает с критерием наименьших квадратов [1, 2]. Поэтому при нормальном законе распределения погрешностей наблюдения оценки по ММП и МНК совпадают. Подставляя в (5) вместои приравнивая частную производнуюпонулю, получаем значение оценкипо ММП, которое совпадает с оценкойпо МНК.

, (6)

т.е. наилучшей оценкой является выборочное среднее значение результатов наблюдений. Из (6) следует, что оценкаявляется случайной величиной с нормальным законом распределения, причем

;. (7)

Таким образом, оценка имеет более высокую точность, т.к. ее дисперсия враз меньше дисперсии отдельных измерений. Разброс результатов оценивания характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (7) следует, что при усреднении результатовN наблюдений случайная погрешность уменьшается в раз. На рис. 1 показаны графики плотностей вероятности исходных наблюденийи выборочного среднего для . Полученная оценкаявляется состоятельной, несмещенной и эффективной.

Рис. 1.

Для оценки неопределенности (разброса) величины с необходимо оценить значение дисперсии погрешности измерений. Из (3) видно, что функция правдоподобия выборкизависит еще и от параметра, поэтому ее можно представить в виде. Вычисляя частную производную логарифма этой функции пои приравнивая ее нулю (здесь пользуются свойством монотонности функции логарифм), находим

. (8)

Но истинное значение c неизвестно, поэтому в (8) вместо подставляют его оценку максимального правдоподобия (6), а соответствующую оценку дисперсии обозначим:

. (9)

Однако доказано, что оценка , вычисляемая по (9), получается смещенной [1-4], т.к. ее математическое ожидание не равно.. Но, поэтому оценканазывается асимптотически несмещенной. Полученную смещенную оценку легко сделать несмещенной, введя поправочный множитель. Обозначим несмещенную оценку параметрачерез:

. (10)

Существует другая форма записи выражения (10), более удобная в вычислительном отношении при обработке результатов наблюдения на ЭВМ, но уступающая (10) с точки зрения точности вычислений:

. (11)

Полученные оценки (6) и (10) измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов.