
- •Вероятностное описание погрешностей измерения
- •1. Случайные события и их вероятности
- •2. Случайные величины и их распределения
- •3. Числовые характеристики случайных величин
- •4. Распределения, часто встречающиеся в задачах метрологии
- •5. Системы случайных величин и их характеристики
- •1. Необходимые сведения из математической статистики.
- •1.1. Выборка. Статистика.
- •1.2. Оценивание параметров
- •1.3. Несмещенные и состоятельные оценки.
- •1.4. Точность оценивания параметров
- •1. Введение
- •2. Обработка результатов прямых измерений
- •2.1. Точечное оценивание
- •2.2. Оценивание с помощью доверительных интервалов
- •2.3. Примеры решения задач Опыты Милликена [1, стр.102].
- •Проверка статистических гипотез
- •1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению
- •2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению
- •3. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий
- •4. Резко выделяющиеся наблюдения
- •5. Примеры решения задач
- •5.1. Проверка гипотез
- •5.2. Опыты Кэвендиша [1, стр.105]
- •Обработка результатов прямых неравноточных измерений
- •1. Точечное оценивание
- •2. Оценивание с помощью доверительных интервалов
- •3. Пример неравноточных измерений
- •Обработка результатов совместных измерений
- •1. Случай линейной системы уравнений
- •2. Случай нелинейной системы уравнений
- •3. Важные частные случаи
- •3.1. Случай равноточных измерений
- •3.2. Линейная регрессия
- •3.3. Полиномиальная регрессия
- •4. Примеры совместных измерений
- •4.1. Исследование зависимости сопротивления проводника от температуры
- •4.2. Исследование зависимости поверхностного натяжения от потенциала электрода
5. Системы случайных величин и их характеристики
С
системами случайных величин сталкиваются
во всех случаях, когда результаты
эксперимента характеризуются несколькими
случайными величинами, которые в силу
взаимной зависимости необходимо
рассматривать как единое целое, например,
как случайный
вектор
,
где знак
обозначает операцию транспонирования
матрицы. С системами случайных величин
имеют дело при обработке результатов
косвенных, совокупных и совместных
измерений.
Способы
описания системы случайных величин
аналогичны способам описания одномерных
случайных величин. Исчерпывающими
вероятностными характеристиками системы
из
случайных величин является
-мерная
функция распределения
(5.1)
или
-мерная
плотность вероятности
.
(5.2)
Как и в случае одномерном, многомерные функции распределения и плотности вероятности взаимнооднозначно определяют друг друга:
,
. (5.3)
Многомерная функция распределения удовлетворяет следующим условиям:
1) ;
2) ;
,
,
.
Свойства многомерной плотности вероятностей аналогичны свойствам одномерной:
1) ;
2) . (5.4)
Аналогично
(2.7) определяется вероятность пребывания
случайного вектора
в любой области
-мерного
пространства
:
. (5.5)
Если координаты случайного вектора статистически независимы, то
. (5.6)
Это соотношение является необходимым и достаточным условием для статистической независимости случайных величин.
Математическим
ожиданием функции
нескольких случайных величин называется
число
. (5.7)
Для
-мерного
случайного вектора
также вводятся понятия математических
ожиданий его компонент и вторых
центральных моментов:
,
,(5.8)
. (5.9)
Очевидно,
что
.
Матрица, компоненты которой являются
случайными величинами, называетсяслучайной
матрицей.
Математическим ожиданием
случайной матрицы
называется матрица, компоненты которой
равны математическим ожиданиям компонент
матрицы
.
Симметрическая
матрица
,
компонентами которой являются величины
из (5.9), называетсяковариационной
матрицей
случайного вектора
.
В матричном виде выражение для нее
будет:
. (5.10)
Для
независимых случайных величин
справедливы следующие важные свойства:
, (5.11)
. (5.12)
В
приложениях метода наименьших квадратов
часто приходится иметь дело с
-мерным
случайным вектором
,
компоненты которого распределены по
нормальному закону и представляют собой
случайные погрешности наблюдения. При
этом зачастую составляются линейные
комбинации наблюдений и их погрешностей
вида:
, (5.13)
где
– случайный вектор, получающийся из
вектора
путем линейного преобразования,
задаваемого матрицей
размера
.
Если
и ранг матрицы
равен
,
то вектор
будет называться невырожденным, и его
компоненты тоже будут распределены
нормально. Причем вектор математических
ожиданий
:
, (5.14)
а
ковариационная матрица
:
. (5.15)
Для
двух случайных величин
и
,
имеющих совместное распределение
мерой их статистической зависимости
являетсякоэффициент
корреляции:
, (5.16)
где
– второй центральный момент распределения
,
задаваемый выражением (5.9). Если
,
то величины
и
статистически независимы, и наоборот,
если
,
то между
и
существует линейная зависимость.