Обработка результатов совместных измерений

При совместных измерениях неизвестные значения искомых параметров находят из решения системы уравнений, связывающей эти параметры с величинами, измеряемыми непосредственно. Из всего многообразия систем уравнений аналитические решения в общем случае можно выписать только для линейных систем. Поэтому сначала рассмотрим методы обработки экспериментальных данных, когда искомые параметры определяются в результате решения линейных уравнений, а далее проанализируем нелинейный случай.

1. Случай линейной системы уравнений

Пусть имеется линейная система уравнений:

где – искомые неизвестные параметры;измеряемые значения величин;– величины, значения которых точно известны.

Перепишем данную систему в виде

,. (1)

Будем считать, что уравнения (1) выполняются точно, однако значения измеряются с погрешностями, то есть мы наблюдаем искаженные погрешностями величины

.

Тогда

,. (2)

Относительно погрешностей сделаем следующие допущения:

1) погрешности являются нормально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданиеми дисперсиями, причемизвестны, а параметрподлежит оцениванию вместе с искомыми параметрами, то есть измерениянеравноточные;

2) погрешности отдельных измерений независимы. Из (2) следует, что величины будут иметь нормальное распределение с параметрами

,. (3)

Естественно, что при решении системы (1) вместо величин придется использовать наблюдаемые значения, причем число наблюдений, как правило, делают большим числа неизвестных. В этом случае система (2) не имеет решения, поэтому оценки неизвестных параметров получают по методу максимального правдоподобия (ММП) или по методу наименьших квадратов (МНК). С учетом (3) функция правдоподобия выборки будет

. (4)

Видно, что при всяком значении максимум функции правдоподобия (4) достигается при выборетаком, что

, (5)

то есть при выборе по предписанию МНК, который является частным случаем ММП, если выборкаимеет нормальное распределение. Для нахождения минимума (5) найдемее частных производных пои приравняем их нулю. В результате имеем систему изнормальных уравнений относительнонеизвестных параметров

, (6)

решая которую, получают искомые оценки.

Однако более наглядно система (6) и ее решение могут быть представлены в матричном виде. Обозначим ,– соответственно векторы истинных значений и наблюдаемых значений измеряемых величин;

,

соответственно матрица плана эксперимента, состоящая из известных величин ,и диагональная матрица весов измерений;– вектор неизвестных параметров.

В данных обозначениях система нормальных уравнений (6) примет вид

, (7)

а вектор оценок неизвестных параметров находится из выражения

, (8)

где и– обозначают соответственно операции транспонирования и нахождения обратной матрицы. Полученные оценкиявляются состоятельными, несмещенными и эффективными [1].

Используя те же экспериментальные данные, можно найти оценку дисперсии случайной погрешности . Для этого продифференцируем логарифм функции правдоподобия (4) пои приравняем производную нулю, тогда

,

где в последнее выражение вместо неизвестных параметров подставлены их оценки максимального правдоподобия (8). Легко показать, что полученная оценка дисперсии является смещенной [1], а для нахождения несмещенной оценки необходимо ввести поправочный множитель

. (9)

Зная оценку параметра , можно судить о точности оценки коэффициентов. Но погрешности оценивания данных коэффициентов уже не независимы, поэтому они описываются дисперсионной матрицей ошибок, равной

. (10)

Легко видеть, что является квадратной, симметричной матрицей; в диагонали ее стоят дисперсии соответствующих неизвестных параметров, а в недиагональные элементы определяют ковариации соответствующих им параметров.

Основываясь на результатах обработки линейной модели, перейдем к рассмотрению нелинейного случая.