Zrazok

Розділ 6. Стереометрія

Завдання з вибором однієї правильної відповіді

Завдання 1-15 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Правильно виконане завдання оцінюється 1 балом.

І. Через точку A, що не належить площині α , можна провести лише одну пряму, паралельну площині α .

ІІ. Через точку A, що не належить площині α , можна провести лише одну площину, паралельну площині α .

ІІІ. Через точку A, що не належить площині α , можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до площини α .

ІV. Через точку A, що не належить площині α , можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α .

7.У кубі ABCDA1B1C1D1 точка М є серединою ребра DD1

(див. рисунок). Через цю точку і ребро A1B1 проведено площину. Знайдіть площу утвореного перерізу, якщо ребро куба дорівнює 10 см.

8.На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складену з шести попарно рівних прямокутників, розміри яких указано (у см). Обчисліть об’єм цього тіла.

9.На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, що складається з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжини сторін яких – 3 см і 6 см. Обчисліть об’єм цього тіла.

32

10. Свинцеву кулю радіуса 5 см переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної з яких – 1 см. Скільки таких кульок одержали? Втратами свинцю під час переплавлення знехтуйте.

11. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см.

12.Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якого дорівнює а см.

13.Із циліндра виточено конус так, що його основа збігається з однією з основ циліндра, а вершина – із центром іншої основи циліндра (див. рисунок). Знайдіть відношення об’єму сточеної частини циліндра до об’єму конуса.

14.З дерев’яної циліндричної заготовки, осьовим перерізом якої є квадрат, виточили більярдну кулю найбільшого об’єму (див. рисунок). Визначте відношення об’єму кулі до об’єму всієї заготовки.

15.Паралельно осі циліндра, на відстані 2 см від неї, проведено площину. Утворений переріз циліндра є квадратом. Знайдіть його площу, якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює 83 π см2 .

Завдання з короткою відповіддю

У завданнях 16-26 правильна відповідь оцінюється 2 балами

16. Знайдіть величину кута між векторами a − b і c (у градусах), якщо a(3; 5; − 4) , b(−2; 5; − 4) і c (0; 0; 2).

17.Кулю перетнули площиною на відстані 12 см від її центра. Площа утвореного перерізу дорівнює 25π см2 . Знайдіть довжину радіуса кулі (у см).

18.Об’єм куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 216 см3 (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди D1 ACD (у см3 ).

19.Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 3 см і нахилена під кутом 60° до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди (у см3 ).

20.Укажіть номер фужера, в який можна налити найбільше рідини.

34

21.Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина кімнати – 4 м, довжина – 5 м, висота – 2,5 м). Площа стін кімнати дорівнює 0,8 площі бічної поверхні цього паралелепіпеда. Скільки фарби (у кг) потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни

істелю цієї кімнати, якщо на 1 м2 витрачається 0,25 кг фарби?

22.Основою прямого паралелепіпеда є ромб з гострим кутом 60o і більшою діагоналлю 63 см. Менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 45o . Знайдіть

площу бічної поверхні паралелепіпеда (у см2 ).

23.Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи кут 60º. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см2).

24.Металеву кулю радіуса R = 316 переплавили в конус, висота якого дорівнює 8. Знайдіть відношення площі бічної поверхні конуса до площі його основи.

25.На рисунку зображено розгортку конуса. Знайдіть відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

26.Висота конуса дорівнює 4 см, радіус основи – 3 см. Знайдіть відношення площі основи конуса до площі його бічної поверхні.

Завдання з розгорнутою відповіддю

Розв’язання завдань 27-33 повинні мати обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та пояснення, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань рисунками, графіками, схемами, таблицями.

27.Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом a і прилеглим до нього гострим кутом β. Бічні грані піраміди, що містять катети цього трикутника, перпендикулярні до площини основи, а третя бічна грань нахилена до основи під кутом φ. Знайдіть довжину висоти піраміди.

28.У правильній трикутній піраміді SABC через її висоту SO і бічне ребро SB проведено площину. Площа утвореного перерізу в 4 рази менша за площу повної поверхні піраміди. Знайдіть величину двогранного кута при основі піраміди.

35

29.У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S – вершина) бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Знайдіть величину кута між медіаною трикутника SDC, проведеною з вершини D, та середньою лінією трикутника ASC.

30.У правильній трикутній піраміді SABC з основою АВС бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки K і L є серединами ребер АС і ВС відповідно. Через пряму KL, паралельно до ребра SС, проведено площину α . Знайдіть величину кута між площиною

αі площиною (АВС).

31.Основою прямого паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA1 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину А, перпендикулярно до прямої BA1 (у см2).

32.Радіус основи конуса дорівнює R, твірна нахилена до площини основи під кутом α . Через вершину конуса проведено площину під кутом φ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.

33.Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною a . Одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші – нахилені до основи під кутом α . Знайдіть об’єм піраміди.

36