2.2. Метод суперпозиции

Рассмотрим дискретную СВ y, принимающую n значений a_k с вероятностями p₁,…,p_n. Эта величина задается рядом распределения

,

Обычно используют следующий алгоритм моделирования. Отрезок [0, 1] разбивают на n последовательных отрезков длины которых равны соответственно вероятностям . Разыгрывается значение величины x∈[0,1] с равномерным распределением и далее принимается,

если

Этот алгоритм применим и для дискретных СВ, принимающих бесконечное множество значений.

Для моделирования СВ с плотностью распределения вида

(8)

где , удобен метод суперпозиции. Моделирование осуществляется в два этапа. Сначала разыгрывается реализация дискретной СВ, принимающей значения 1, 2, . . ., n с вероятностями p_k . После получения значения k , моделируется СВ с ПРВ . Ее значение и принимается в качествеy .

Модели вида (8) называются смесями распределений Описанный алгоритм по существу воспроизводит реальный физический механизм появления смесей распределений. Сумма в формуле (8) может содержать большое число слагаемых.

Рассмотрим пример применения метода суперпозиции. Пусть требуется промоделировать СВ с ПРВ вида

Лекция 5.

2.3. Некоторые специальные методы моделирования случайных величин

Для моделирования СВ с заданным законом распределения можно использовать и другие свойства преобразований случайных чисел. Например, путем суммирования большого числа (12) случайных чисел ^x_iс равномерным законом распределения в интервале (0, 1) можно получить СВy , ПРВ которой близка к нормальной ПРВ N (0, 1):

^{Известно также, что распределение произведения двух независимых СВ, одна из которых имеет рэлеевское распределение, а другая распределена по закону арксинуса (2.6) с нулевым средним значением и дисперсией, равной 1/2, является нормальным. Это позволяет формировать нормальную СВ путем следующего преобразования системы двух независимых равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел x}₁ ^иx₂^:

	15

Параметры получаемой этим способом нормальной СВ будут (0, σ2 ). Из этихже чисел можно получить еще одну нормальную СВ

некоррелированную (а значит и независимую) с СВy .

Для моделирования СВ с некоторыми законами распределения иногда удобно использовать преобразования нормально распределенных случайных чисел. Например, СВ с рэлеевским и показательным законами распределения можно получить путем преобразования системы двух независимых нормальных случайных чисел ^x₁ ^иx₂ ^{спараметрами}(0, σ2 ) в виде

	16

соответственно. При этом для рэлеевского распределения параметр σ будетсовпадать спараметром σ исходного нормального распределения, а дляпоказательного распределения параметр λ связан с параметром σ исходногонормального распределения соотношением λ= 0.5_σ².

Алгоритмы основаны на известных свойствахпреобразований нормальных СВ. Немного изменив эти алгоритмы, можномоделировать СВ с другими распространенными законами распределения.

Полагая

16

получим соответственно СВ с законом распределения Райса

и СВ с законом распределения χ² с m степенями свободы

где ^I₀(^x)- модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; Г(х)-гамма-функция.