2. Алгоритм синтеза графов с максимальной связностью
В зависимости от выбора ведущей вершины ℓ- процедура может строить различные реализации графов, в том числе и с заданными свойствами. Так с помощью ℓ- процедуры можно построить такую реализацию графа, у которой реберная связность (G) будет максимальной. Основанием для этого служит теорема Д. Уэла: каждая правильная графическая степенная последовательность имеет реализацию, число реберной связности которой (G)=dn.
Такая реализация строится ℓ- процедурой, на каждом шаге которой ведущей является вершина с минимальной степенью.
Пример. Задана последовательность:
П3= 5 4 4 3 2 2.
Построить граф с максимальной реберной связностью
1шаг- ведущая вершина v6(2) соединяется с v1 и v3, последовательность принимает вид: 4 3 4 3 2 0;
2шаг- ведущая вершина v5(2) соединяется с вершинами v1,v3, последовательность принимает вид: 3 3 3 3 0 0;
3-ий шаг- ведущая вершина v1(3) соединяется с вершинами v2, v3 и v4, последовательность принимает вид : 0 2 2 0 0;
4-ый шаг- ведущая вершина v2(2) соединяется с v3, v4, последовательность принимает вид 0 0 1 1 0 0;
5-ый шаг- соединяются вершины v3 и v4, конец.
Рис.3. Граф G3(П3).
Полученный граф G3(П3) изоморфен графу G2(П2) . Изоморфность доказывается равенством последовательностей П2 = П3( необходимое условие) и наличием гамильтоновых циклов:
С2 = v1 v6 v3 v4 v2 v5 v1
C3 = v1 v5 v3 v4 v2 v6 v1 , которые совпадают при подстановке v5→v6 и наоборот, т.е. при перенумерации вершин v5 и v6 любого из графов (достаточное условие).
3. Алгоритмы синтеза графов с максимальной связностью при заданном числе вершин и ребер.
Рассмотрены случаи построения графов, в том числе и с максимальной реберной связностью, когда заданы степенные последовательности вершин.
Однако чаще задача формализуется другим образом.
Задано: n – число вершин графа и m –число ребер, которые нужно распределить на вершинах графа таким образом, чтобы граф обладал наибольшей реберной связностью.
Харари показал, а Свами привел подробную процедуру построения графа Hk,n, который является k-связным и содержит ровно m=[kn/2] ребер. Процедура заключается в том, что в графе Hk,n между i-й и j-ой вершинами ребра прокладываются по следующим правилам:
I-случай k=2r-четно: тогда H2r,n строится на вершинах v0,v1,…,vn-1 и две вершины vi и vjсмежны, если i-r ≤ j ≤ i+r .
II-случай k =2r+1: n- четно: тогда H2r+1,n получается из графа H2r,n введением ребер, соединяющих вершины vi и vjдля i=0,1,2,…,n/2 и j=i+n/2(modn).
III-случай k=2r+1: n-нечетно, тогда H2r+1,n получается из графа H2r,n введением ребер, соединяющих вершины vi и vjдля i=0,1,2,…,(n-1)/2 и j=i+(n+1).2(mod n). Блок –схема алгоритма, реализующего процедуру Свами-Хараи приведена на рис.4.
Процедура работает
при соблюдении равенства m=[k.n/2] с учетом
выполнения требования
.
В этом ограничение процедуры.
При произвольном
m и n и естественном ограничении
хорошо
работает алгоритм Колесникова-Федорова.
Суть его заключается в следующем. Для синтеза оптимальной структуры ее граф строят путем набора различных последовательных структур в виде независимых остовных деревьев или поддеревьев. При этом каждая новая последовательная структура для повышения равномерности распределения значений степеней вершин должна начинаться с другой вершины и порядок чередования вершин следует менять.
Элементы матрицы смежности, отображающие эти последовательные структуры, размещаются параллельно главной диагонали, состоят из одной или двух поддиагоналей и содержат n-1 или менее элементов.
Метод работает при любом соотношении m и n. Тонким моментом алгоритма является выбор вершины перехода на очередную диагональ, поскольку его иногда не удается формализовать, но реализовать эвристически просто из-за наглядности “ручной” реализации.
Оба алгоритма дают
одинаковые результаты, когда k = 2m/n –
целое число. Для исключения эвристических
решений, когда k = 2m/n – не целое число,
метод может быть усовершенствован и
существенно упрощен путем переноса
процесса оптимизации из области
формирования последовательных структур
в область формирования оптимальных
(рациональных) степенных последовательностей
вершин синтезируемого графа.
Рис.4. Блок-схема алгоритма, реализующего процедуру Свами-Харари.
При этом требование максимальной равномерности степеней вершин и равномерного распределения оставшихся ребер удовлетворяется следующим образом.
Определяется минимальная степень вершин dimin=[2m/n] в остатке получается 1≤ r ≤ n-1 вершин, это значит, что n-r вершин имеют степень dimin, а r- вершин имеют степень dimах= dimin+1. Причем порядок распределения вершин с разными степенями должен быть также максимально равномерным. При этом , если r<n/2, то распределяются dimах, если r≥n/2, то распределяются dimin.
Естественно, что количество оставшихся вершин должно быть четным (каждое ребро содержит 2 вершины), а получаемая последовательность - графической.
Далее по полученной степенной последовательности строится граф максимальной связности с использованием ℓ-процедуры [1 ].
Пример. Дано n=4, m=5 построить граф максимальной связности.
Решение
Определим k= dimin = (2m /n)+r = 2.5/4 =2+2(mod4).
dimax = dimin +1=3
Определим степенную последовательность- это П1= {2;3;2;3} или П2 = {3;2;3;2}.
С помощью ℓ-процедуры строим граф по П1:
2 3 2 3
1. Соединяем 1 со 2-ой
и 4-ой вершин
0 2 2 2
2. Соединяем 2-ой
со 3-й
и 4-й вершин
0 0 1 1
3. Соединяем 3-ю
и 4-ю вершин
Построим граф по
П2:
3 2 3 2
1. Соединяем 2-ю
с 1-й
и 3-й вершин
2 0 2 2
2. Соединяем 1-ой
с 3-й
и 4-й вершин
0 0 1 1
3. Соединяем 3-ю
и 4-ю вершин
Графы изоморфны, граф G2(П2) получается из графа G1(П1) поворотом на 90 ο против часовой стрелки вокруг центра симметрии с помощью подстановки
1 2 3 4
t = 4 1 2 3
Как и следовало ожидать, оба графа имеют максимальное ( при заданных m и n ) число остовных деревьев- 8.