Системы счисления
Системы счисления (СС) – это способ представления любого числа посредством некоторого алфавита, символы которого называются цифрами. Для определения любой СС необходимы две составляющие:
цифры;
правила их записи.
Все СС делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционныхСС применяется неограниченное количество цифр, значение цифры не зависит от ее позиции (местоположения) в числе. Примером такой СС является римская СС.
Позиционные СС.
Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое зависит от ее позиции в числе.
12 – 2 обозначает количество единиц.
21 – 2 обозначает количество десятков.
Любая позиционная системы счисления характеризуется основанием или базисом.
Основание (базис) позиционной СС – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной СС.
В ЭВМ используются позиционные СС с базисами 2,8,10,16 (соответственно двоичная, восьмеричная десятичная и шестнадцатеричная СС).
Правило перевода числа из одной СС в другую.
Чтобы перевести целое число из одной позиционной СС в другую, его надо последовательно делить на основание новой СС до тех пор, пока остаток не станет меньше делителя. Число в новой СС записывается из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа.
Двоичная система счисления.
Основание – 2. Алфавит состоит из двух цифр – 0 и 1.
Ч
тобы
перевести десятичное целое число в
двоичную СС, его делят на основание СС
(на 2) до тех пор, пока в остатке не
останется 0 или 1.
9
2
8
4 2 9D
= 1001B
(D – признак десятичной СС;
1
4 2 2 В –
признак двоичной СС)
0 2 1
старшая цифра
0
Перевод правильных дробей.
Для перевода правильных дробей необходимо исходную дробь умножить на основание СС до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества цифр, которое определяется требуемой точностью вычислений.
0
.375D
В 0.375D = 0.011В
0. 375
х
2
0. 750
х 2
1. 500
х
2
1. 000
В любой позиционной СС число может быть представлено в виде полинома:
А(q) = an-1qn-1 + … + a1q1 +a0q0 + a-1q-1 + … + a-mq-m
где q – основание (базис) СС (целое положительное число);
ai - разрядный коэффициент;
n,m – количество целых и дробных разрядов (веса целых и дробных
разрядов).
Пример.
243, 65D = 2х102 + 4х101 + 3х100 + 6х10-1 + 5х10-2
Для двоичной СС полиномиальное представление числа аналогично.
1011,1011В = 1х23 + 0х22 + 1х21 + 1х20 + 1х2-1 + 0х2-2 + 1х2-3 + 1х2-4
8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125 + 0.065
При переводе смешанного числа целая и дробная части переводятся по отдельности.
Восьмеричная система счисления.
Основание (базис) – 8. Алфавит состоит из восьми цифр от 0 до 7.
Правило перевода аналогичное (деление на 8).
1
2
8
8 1 12D =
14Q (Q – признак 8-ричной СС)
4
Шестнадцатиричная система счисления.
Основание (базис) – 16, алфавит состоит из 16 цифр: от 0 до 9, A,B,C,D,E,F.
П
равило
перевода аналогично предыдущим:
1
6
16 1 29D = 1D Н (Н – признак 16-ричной СС)
1
3
Перевод 8-ричного числа в двоичную СС.
Каждая цифра 8-ричного числа заменяется трехразрядным двоичным числом (триадой).
2578 = 010 101 111 В
Перевод 16-ричного числа в двоичную СС.
Каждая цифра 16-ричного числа заменяется 4-разрядным двоичным число (тетрадой).
43С Н = 0100 0011 1100 В.
Ниже в таблице приведены изображения некоторых числе в различных системах счисления.
-
А = 10
А = 2
А = 8
А = 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
01
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
20