1.Определение положения центра тяжести. Построение центральных осей

Определяем координаты точек С₁ ,С₂ и С₄ относительно системы y₁ C₁ z₁.

Точка С₁: ;.

Точка С₂ : ;

см.

Точка С₄ : ;

см.

Общая площадь фигуры

Рис.6

Координата центра тяжести по оси y

.

Координата центра тяжести по оси z

.

Проводим центральные оси y_C , z_C параллельно осям y₁ , z₁ , как это показано на рис.6.

Замечание. Центр тяжести составной фигуры (точка С) всегда должен лежать

внутри треугольника, полученного соединением точек С₁ ,С₂ и С_4.

Теперь y_C С z _C  основная система координат.

2.Определение величин осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей

Момент инерции составной фигуры относительно оси y_C равен сумме моментов инерции первой, второй и четвертой фигур относительно той же оси

.

Момент инерции первой фигуры относительно оси y_C

;

см.

Момент инерции второй фигуры относительно оси y_C

;

см.

Момент инерции четвертой фигуры относительно оси y_C

;

см.

Момент инерции составной фигуры относительно оси y_C

.

Момент инерции составной фигуры относительно оси z_C равен сумме моментов инерции первой, второй и четвертой фигур относительно той же оси

.

Момент инерции первой фигуры относительно оси z_C

;

.

Момент инерции второй фигуры относительно оси z_C

;

.

Момент инерции четвертой фигуры относительно оси z_C

;

.

Момент инерции составной фигуры относительно оси z_C

.

Центробежный момент инерции составной фигуры относительно осей y_C, z_C равен сумме центробежных моментов инерции первой, второй и четвертой фигур

.

Момент инерции первой фигуры относительно осей y_C, z_C (используем формулы параллельного переноса осей)

.

Момент инерции второй фигуры относительно осей y_C, z_C

.

Момент инерции четвертой фигуры относительно осей y_C, z_C

.

Центробежный момент инерции составной фигуры относительно осей y_C, z_C

.

Моменты инерции относительно центральных осей найдены:

; ;.

3. Определение положения главных центральных осей

Положение главных центральных осей определяем по формулам:

.

Знак “ –“ показывает, что угол откладывается от осиy_C по ходу часовой стрелки.

Проводим главные центральные оси u ,v , как это показано на рис.6.

4. Определение величин осевых моментов инерции относительно

главных центральных осей

Моменты инерции относительно главных центральных осей вычисляются по следующим формулам:

Так как , то

Наибольший из моментов инерции при повороте осей возрастает, достигая максимального значения, а меньший момент инерции убывает, достигая минимального значения.

Выполним проверки:

1.Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте вокруг общего центра остается постоянной, т.е.

?

=.

2. Проверим правильность нахождения осевых моментов инерции относительно главных центральных осей, используя формулы изменения моментов инерции при повороте осей

;

.

3.Центробежный момент инерции относительно главных осей должен быть равен нулю, т.е. :

.

Вычислим относительную погрешность

, т.е..

5. Вычисление значений главных радиусов инерции сечения

Радиусы инерции относительно главных центральных осей определяются по следующим формулам:

; .