Решение

Используя приведенные выше справочные данные, на миллиметровке вычерчиваем сечение, состоящее из элементов I, II и III в масштабе с указанием всех осей и необходимых размеров в сантиметрах (рис.3). На рис.3 в рамках показаны размеры, взятые из справочных данных, остальные получены в ходе расчета.

1.Определение положения центра тяжести. Построение центральных осей

Составная фигура (рис.3) имеет одну ось симметрии, которая является главной центральной осью  ось z₀. Вторая главная центральная ось пройдет через центр тяжести перпендикулярно оси z₀.

Очевидно, что центр тяжести составной фигуры будет находиться на оси симметрии, поэтому определяем только по одной координате для точек С₁ , С₂ и С₃. В качестве вспомогательной системы выбираем  y₁ , z₀.

Точка С₁: =0.

Точка С₂ : см.

Точка С₃ : см.

Тогда координата точки С вычисляется по формуле

.

Общая площадь фигуры

Через точку С проводим вторую главную центральную ось y₀(рис.3). Теперь y₀ , z₀  основная система координат.

Рис.3

2.Определение величин осевых моментов инерции относительно главных центральных осей

На основании свойства о том, что момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции элементов этого сечения, вычисленного относительно той же оси, имеем

.

Для вычисления моментов инерции элементов сечения относительно главной центральной оси y₀ воспользуемся формулами изменения моментов инерции при параллельном переносе осей:

,

где момент инерции I элемента относительно собственной центральной оси y₁ (справочная величина), А₁ площадь I элемента (справочная величина), величина определяет расстояние между осямиy₀ и y₁ .

;

см (см. рис.3).

Момент инерции второй фигуры относительно оси y₀

;

см;

см⁴, т.к.

фигуры II и III находятся на одинаковом расстоянии от оси y₀.

Окончательно, момент инерции составной фигуры относительно оси y₀

.

Момент инерции составной фигуры относительно оси z₀

.

Момент инерции первой фигуры относительно оси z₀

см⁴,

т.к. оси z₀ и z₁ совпадают.

Для вычисления моментов инерции II и III элементов сечения относительно главной центральной оси z₀ , воспользуемся формулами изменения моментов инерции при параллельном переносе осей.

,

где момент инерции II элемента относительно собственной центральной оси z₂ (справочная величина), А₂ площадь II элемента (справочная величина), величина определяет расстояние между осямиz₀ и z ₂.

см⁴=2854 см⁴;

см;

см⁴, т.к.

фигуры II и III находятся на одинаковом расстоянии от оси z₀.

Момент инерции составной фигуры относительно оси z₀

.

Моменты инерции относительно главных центральных осей округляем до трех значащих цифр.

3. Вычисление значения главных радиусов инерции сечения и момента сопротивления относительно оси симметрии

Радиусы инерции относительно главных центральных осей определяются по следующим формулам:

;

.

Момент сопротивления сечения относительно оси z₀ вычисляем по формуле

,

где y_махмаксимальное расстояние от оси z₀ до наиболее удаленной точки сечения.

В нашем случае, y_мах=см, поэтому

.

Задача 2. Для плоской фигуры, состоящей из элементов I, II, III, IV, V с одной осью симметрии (рис.4), требуется:

1. Определить положение центра тяжести. Построить главные центральные оси.

2. Найти значения главных центральных моментов инерции.

3. Вычислить значения главных радиусов инерции сечения и момента сопротивления относительно оси симметрии.

4. Вычертить сечение в масштабе на миллиметровке формата А4 с указанием всех размеров и осей.