Решение
Используя приведенные выше справочные данные, на миллиметровке вычерчиваем сечение, состоящее из элементов I, II, III, IV и V в масштабе с указанием всех осей и необходимых размеров в сантиметрах (рис.4). На рис.4 в рамках показаны размеры, взятые из справочных данных, остальные получены в ходе расчета.
1.Определение положения центра тяжести. Построение центральных осей
Составная фигура (рис.4) имеет одну ось симметрии, которая является главной центральной осью ось z0. Вторая главная центральная ось пройдет через центр тяжести перпендикулярно оси z0.
Очевидно, что центр тяжести составной фигуры будет находиться на оси симметрии, поэтому определяем только по одной координате для точек С1 , С2 , С3, С4 и С5. В качестве вспомогательной системы выбираем y1 C1 z0.
Точка
С1:
=0.
Точка
С2
:
см.
Точка
С3
:
см.
Точка
С4
:
см.
Точка
С5
:
см.
Рис.4
Тогда координата точки С вычисляется по формуле
.
Общая
площадь фигуры
Через точку С проводим вторую главную центральную ось y0(см. рис.4). Теперь y0 , z0 основная система координат.
2.Определение величин осевых моментов инерции относительно главных центральных осей
На основании свойства о том, что момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции элементов этого сечения, вычисленного относительно той же оси, имеем
.
Для вычисления моментов инерции элементов сечения относительно главной центральной оси y0 , воспользуемся формулами изменения моментов инерции при параллельном переносе осей.
,
где
момент инерции I
элемента относительно собственной
центральной оси y1
(справочная
величина), А1
площадь I
элемента (справочная
величина), величина
определяет расстояние между осямиy0
и
y1
.
см4;
см
(см. рис.3).
Момент инерции второй фигуры относительно оси y0
см4;
см;
см4,
т.к.
фигуры II и III находятся на одинаковом расстоянии от оси y0.
Момент инерции четвертой фигуры относительно оси y0
см4;
см;
см4,
т.к.
фигуры V и IV находятся на одинаковом расстоянии от оси y0.
Окончательно, момент инерции составной фигуры относительно оси y0
см4.
Момент инерции составной фигуры относительно оси z0
.
Момент инерции первой фигуры относительно оси z0
см4,
т.к. оси z0 и z1 совпадают.
Для вычисления моментов инерции II, III, IV и V элементов сечения относительно главной центральной оси z0 , воспользуемся формулами изменения моментов инерции при параллельном переносе осей.
,
где
момент инерции II
элемента относительно собственной
центральной оси z2
(справочная
величина), А2
площадь II
элемента (справочная
величина), величина
определяет расстояние между осямиz0
и
z
2.
см4=2854
см4;
см;
см4,
т.к.
фигуры II и III находятся на одинаковом расстоянии от оси z0.
Момент инерции четвертой фигуры относительно оси z0
см4;
см;
см4,
т.к.
фигуры V и IV находятся на одинаковом расстоянии от оси z0.
Момент инерции составной фигуры относительно оси z0
см4
= 13700 см4.
Моменты инерции относительно главных центральных осей округляем до трех значащих цифр.