Компьютерная графика.

для которой элементы cij вычисляются по формуле:

n

cij=∑ aik bkj k=1

Правило вычисления элементов матрицы С можно легко запомнить по названию "строка на столбец". И действительно, для вычисления любого элемента cij необходимо умножить элементы i-й строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы В.

Произведение матриц определено только для случая, когда количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.

Преобразование координат.

Пусть задана n-мерная система координат в базисе (k1 ,k 2 ,k 3 , ,kn ), описывающая положение точки в пространстве с помощью числовых значений ki . В компьютерной графике чаще всего используется 2-х мерная (n=2) и 3-х мерная (n=3) системы координат.

Если задать другую, N-мерную, систему координат в базисе (m1 ,m2 ,m3 , … ,mN ) и

поставить задачу определения координат в новой системе, зная координаты в старой, то решение (если оно существует) можно записать в таком виде:

-22-

Компьютерная графика.

{k1=F 1 (m1, m2, m3, ,mn ),

k2=F 2 (m1, m2, m3, ,mn) ,

k N =F N (m1, m2, m3, ,mn) ,

где F i – функция обратного преобразования.

В случае, когда размерность систем координат не совпадают (n ≠ N ) , осуществить

однозначное преобразование координат зачастую не удается. Например, по двумерным экранным координатам нельзя без дополнительных условий однозначно определить трехмерные координаты отображаемых объектов.

Если размерности систем совпадают (n=N ) , то также возможны случаи, когда нельзя однозначно решить прямую или обратную задачи.

Преобразование координат классифицируют:

•по системам координат — например, преобразование из полярной системы в прямоугольную;

•по виду функции преобразования f i .

По виду функций преобразования различают линейные и нелинейные преоб-

(k1, k 2, k3, ,k n) , тогда преобразование координат в целом не линейно.

Линейные преобразования наглядно записываются в матричной форме:

Аффинные преобразования координат.

Аффинные преобразования — это преобразования при которых параллельность прямых сохраняется.

Аффинные преобразования координат на плоскости.

Общая формула описания аффинных преобразований:

{X =Ax +By+C , Y =Dx+ Ey+F ,

-23-

Компьютерная графика.

Частные случаи аффинного преобразования: Параллельный перенос.

{X =x−dx Y = y−dy

Масштабирование.

{X =x/ sx

Y = y/ sy

Поворот.

{X = x cosα + y sin α Y =−x sin α + y cos α

Однородные координаты.

Введем понятие однородных координат:

На плоскости точка в однородных координатах описывается не двумя, а тремя числами. Пусть на плоскости есть точка М с координатами (х, у). Тогда ее однородными координатами называются три одновременно не равных нулю числа

(X, Y, h) таких, что (x, y) = (X/h, Y/h, h).

В машинной графике точке с координатами (х, у) на плоскости ставится в соответствие точка с координатами (х, у, 1) в пространстве. Фактически точка (х, у) проектируется на плоскость, параллельную координатной и отстоящей от нее на расстояние, равное единице.

Теперь перепишем общую формулу аффинных преобразований в матричном виде:

Теперь перепишем операции аффинного преобразования в матричном виде. Параллельный перенос.

Масштабирование.

-24-

Компьютерная графика.

Аффинные преобразования координат в трехмерном пространстве.

Запишем в виде формулы:

{X =Ax+By+Cz+ D ,

Y =Ex +Fy+Gz+H ,

Z =Kx +Ly+Mz+N ,

где А, В, ..., N —константы. Дадим также в матричной форме:

Для трехмерного пространства любое аффинное преобразование также может быть представлено последовательностью простейших операций. Рассмотрим их.

Поворот вокруг оси x на угол α.

-25-