Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Vvedenie (1)

.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
294.4 Кб
Скачать

1)ВВЕДЕНИЕ

Физические процессы, вообще говоря, описываются в терминах операций (наблюдений, экспериментов), связывающих физические объекты.

Сложность подлинных физических ситуаций требует упрощенных описаний с помощью словесных, символических и даже физических моделей, которые «абстрагируют» подходящим образом выбранные «существенные» свойства физических объектов и ситуаций.

Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов (операнд, операнды) с другим объектом или множеством объектов (результатом операции).

В физике и в технике при экспериментах и в практических расчетах постоянно необходимо принимать во внимание различные обстоятельства, связанные с физическим подобием явлений и с размерностями рассматриваемых величин. Постройка самолетов, кораблей, плотин и многих других сложных технических сооружений основана на предварительных обширных исследованиях, среди которых важную роль играют испытания моделей.

В теории размерности и подобия устанавливаются условия, которые должны соблюдаться в опытах с моделями, и выделяются характерные и удобные параметры, определяющие основные эффекты и режимы процессов. Вместе с тем сочетание соображений теории размерности и подобия с общим качественным анализом механизма физических явлений в ряде случаев может служить плодотворным теоретическим методом исследования.

С вопросами теории размерности и моделирования мы сталкиваемся при самом первоначальном изучении физики в школе, а в исследовательской работе–в самой начальной стадии постановки новых задач.

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правила соответствия, связывающие специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями.

Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует.

Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых чисел и действительных чисел и евклидова геометрия: определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с множествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.

Можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое моделирование, – вычислительный эксперимент, т.е. исследование реальных процессов средствами вычислительной математики.

Пусть требуется изучить некоторый физический процесс.

Первый этап изучения этого процесса – математическая формулировка задачи или выбор математической модели. Этому предшествует выбор физического приближения, т.е. того, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. Это – привилегия физиков.

Что такое математическая модель? Указываются группа искомых физических величин и группа заданных величин: между ними есть связь, т.е. уравнения (алгебраические или дифференциальные), написание которых вместе со всей необходимой информацией (о коэффициентах уравнений, о начальных и краевых условиях) есть выбор математической модели.

После того как написана система уравнений, описывающих процесс, надо исследовать полученную математическую модель, т.е. установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли данных, не противоречат ли они друг другу, найти условия, при которых задача разрешима и имеет единственное решение, выяснить, нельзя ли написать решение задачи в явном виде, можно ли построить частные решения.

Последующие этапы исследования модели могут выявить, что выбранная математическая модель слишком груба – результат вычислений не согласуется с физическим экспериментом, или что модель слишком сложна, и решение с достаточной точностью можно получить при более простых моделях.

Тогда следует начинать работу с первого этапа и снова пройти все этапы.

Вычислительный эксперимент – это не разовый счет по стандартным формулам, а прежде всего расчет серии вариантов для различных математических моделей.

2. Элементы системного анализа

и методы моделирования

Разработка и иcследование сложных систем предполагают рассмотрение вопросов:

1) связанных с синтезом системы объектов, который заключается в выборе структуры и условий их применения.

2) касающихся анализа системы, заключающегося в изучении ее свойств, в зависимости от значений основных параметров и структуры.

Ввиду разнородности отдельных машин и оборудования, совершенствования способов их применения, быстрых темпов морального старения машин наиболее важными задачами являются:

1) разработка методов создания техники на базе достижений фундаментальных наук.

2) использование достижений весьма отдаленных областей техники.

3) ускорение темпов поиска новых технических решений и их реализация.

4) своевременная постановка перед наукой новых прикладных задач.

Реализация указанных положений в инженерной практике требует научной организации процесса создания новой техники, которая на современном этапе развертывается на базе системного анализа, составляющего основу прикладной науки-системотехники.

Содержание системного анализа включает вопросы формирования методов формализации сложных неопределенных задач и представление их в виде, доступном для решения на ЭВМ с широким привлечением методов моделирования.

Последнее позволяет учитывать на этапе синтеза и анализа объектов проявление в системе как неформальных человеческих факторов, так и формальных технических характеристик и закономерностей поведения объектов.

Системный анализ ставит и решает задачи по созданию простых качественно-количественных описаний сложных систем: социальной, экономической, производственной, технической и комбинированной структуры, для исследования и создания целенаправленных систем, обладающих заданными свойствами, более сложными, чем их модели – описания.

Система задается системными объектами, их свойствами и связями. Системные объекты характеризуются входом, процессом, выходом, обратной связью и ограничением.

Входом называется то, что изменяется при протекании данного процесса. Выходом – то, что получается в результате такого изменения. Объединение подсистем в систему строится с помощью прямых и обратных связей.

Наиболее важными вопросами, решаемыми методами системного анализа при проектировании, являются:

1) исследование эффективности новых методов воздействия на среду,

2) разработка перспективных образцов техники и комплексов машин,

3) анализ взаимодействия различного оборудования и комплексов в технологии и с окружающей средой,

4) распределение ресурсов и др.

Этапы решения задач системного анализа следующие:

1) формирование проблемы, целей, задач и показателей оценки эффективности процессов, объектов и систем

2) установление потребностей и ограничений,

3) выявление соответствия затрат имеющимся ресурсам и выявление альтернатив с их анализом на моделирующих системах,

4) оценка и сравнение результатов решения по выявляемым альтернативам,

5) формирование вариантов решения,

6) исследование возможной эффективности применения решения в конкретных условиях эксплуатации и оценка результатов; при получении неудовлетворительного результата – повторение этапов решения.

Практика решения задач методами системного анализа показывает, что наибольшую сложность представляют первый и третий этапы, так как ошибки, допущенные на этих этапах, не могут быть исправлены на последующих. Упущенная альтернатива приводит к неправильному выводу.

Постановка или формирование проблемы включает составление системного описания или модели системы, которая должна отражать три основные стороны объекта во взаимосвязи его со средой или другими системами:

1) функциональные свойства, которые характеризуют назначение и содержание деятельности объекта; соответствующее описание строится на основании критерия эффективности и должно выражать сущность процесса,

2) морфологические свойства, которые характеризуют составные части объекта и связи между подсистемами и их устройство,

3) информационные свойства, которые характеризуют оценку управляемости и неопределенности объекта, например, посредством определения энтропии.

Сложные системы в дорожном строительстве представляют собой организационно-технологический процесс строительства, машины и комплексы машин, реализующие процесс. Последние представляют собой сложные технические объекты и поэтому могут рассматриваться как системы. На всех этапах проектирования необходимо обеспечивать требуемую эффективность разрабатываемых средств техники в разнообразных или заданных условиях эксплуатации.

В связи с этим на начальных этапах проектирования машин, является вопрос о количественном представлении эффективности разрабатываемой конструкции в вероятностных условиях эксплуатации. При этом для каждой совокупности значений параметров системы вычисляют соответствующие показатели, характеризующие свойства системы (эффективность, производительность, надежность и т.п.) и по сопоставлению показателей получают первое представление о преимуществах и недостатках сравниваемых объектов.

Показатель эффективности как возможная модель выхода должен быть сформирован в виде физически измеримой величины, непосредственно связанной с техническими и экономическими характеристиками и параметрами объекта. Основное требование к показателям такого типа заключается в его соответствии первичным сущностям материи – веществу, энергии и информации. Одним из наиболее общих и плодотворных показателей оценки эффективности технических систем являются показатели, имеющие энергетическую и массовую природу.

Реализация проекта должна соответствовать показателям по функциональному назначению, ресурсам и срокам исполнения. Чем сложнее система, тем труднее путь ее реализации, больше затраты на ее создание, но тем значительнее ее преобразующее действие. Требование всесторонней проверки принимаемых при проектировании сложных решений и минимизации затрат делают необходимым широкое использование методов моделирования на всех этапах создания системы. Поэтому моделирование физическое, математическое, интеллектуальное, социальное является одной из важнейших составных частей системного анализа.

Моделирование в системном анализе обусловлено тем, что такая методология позволяет наиболее экономично дать представление об объекте, цели и способе действий. Моделирование может осуществляться человеком с помощью вычислительных машин или других физических устройств.

Модель, несмотря на ряд присущих ей ограничений, является оперативным и удобным объектом познания и исследования. Наиболее эффективным считают комбинированный метод исследования, сочетающий изучение систем на моделях с производственным экспериментом. Моделирование наиболее эффективно при оптимизации решения на этапе поиска. Представление результатов анализа моделями различного вида и назначения является новым и перспективным методом исследования и оценки эффективности систем.

При моделировании систем важной является операция проверки соответствия модели выхода выходу. Такая операция содержится во всех подсистемах с обратной связью.

3. Классификация моделей

Основанием классификации является материалистическое понимание модели как средства отображения и воспроизведения той или иной части действительности с целью ее более глубокого познания. С этой точки зрения подразделение моделей осуществляется в зависимости:

1) от целей и способа воспроизведения, т.е. от решаемых задач и тех средств, при помощи которых модель строится,

2) от характера тех объектов, которые воспроизводятся в моделях.

Это позволяет классифицировать модели как по форме (способ построения), так и по содержанию (моделируемой действительности).

Пример классификации дан на рис. 2.1, на котором подклассы расположены по степени возрастания сложности. Модель обучения содержит следующие подгруппы моделей: для тренировки, приобретения навыков, комплексного обучения. Модели для научных исследований формируются для получения соответствующих знаний, выявления механизмов протекания процесса и др.

Модели оценки процессов предназначаются для выявления характеристик, свойств, возможностей, сравнения и др. Модели подготовки решений содержат в своей структуре оценки альтернатив, выработку новых альтернатив, подготовку базового варианта решения.

Классификация моделей по методам описания (рис.2.1.) включает следующие подклассы моделей:

1) детерминированные модели, задаваемые уравнениями, решениями уравнений в виде функций времени и экспериментальными данными,

2) вероятностные, или стохастические, модели строятся на основании операций со случайными числами и процессами. Такие модели могут задаваться распределением случайных величин, их функциями, вариациями в пределах ограничений и т.п.

Модели детерминированные отражают процессы с однозначно определенными причинами и их следствиями. Стохастические модели не отражают ход отдельного события, но позволяют находить средний, суммарный результат однородных случайных явлений.

Моделирование любого вида при изучении линейных систем, параметры которых не зависят от параметров их режима (от текущих переменных), и нелинейных систем может проводиться в натуральном времени, измененном относительно натурального. Свойства нелинейных систем зависят от их состояния-режима. Нелинейные системы не могут исследоваться методом наложения (суперпозиции). Происходящие в них процессы описываются дифференциальными уравнениями, в которых зависимые переменные (параметры режима) и их производные возведены в степень выше первой или входят в виде произведений.

Эвристические модели формируются при помощи моделей технических и биологических средств, имитирующих разумное поведение. Например, для моделирования процесса формирования новых идей используют группу лиц, перед которыми ставится определенная задача и работа которых организуется по определенной программе.

Схема классификации моделей по полноте подобия (рис.2.1) включает три основных подкласса:

1) полностью подобные,

2) приближенные,

3) не полностью подобные.

Модели не могут с абсолютной полнотой воспроизводить все детали изучаемых явлений. Абсолютное подобие означает тождество и замену одного объекта или явления другим, точно таким же. При решении научных и технических задач моделирование может быть полным, неполным и приближенным.

При полном моделировании обеспечивается подобие движения материи в основных формах ее существования (во времени и пространстве). Процессы, характеризующие изучаемые явления, подобно изменяются и во времени , и в пространстве.

Структурная модель имитирует структуру оригинала статической или динамической системы. Функциональные модели имитируют работу оригинала. Примером такой функциональной модели является “черный ящик” – объект, функционирование которого определяется состоянием выхода в зависимости от состояния входа в различные моменты времени.

4. Основные положения теории подобия и моделирования,

критерии подобия

Положения теории подобия позволяют правильно ставить эксперимент, распространять результаты единичного опыта на другие системы, создавать модели подсистем и систем, выбирать параметры модели так, чтобы получать моделирующие процессы, подобные процессам в системе – оригинале.

Путь научно – технического развития идет от наблюдения и эксперимента к теоретическому мышлению и завершается специально организованным производственным процессом. Методы теории подобия и моделирования позволяют повысить темпы получения соответствующих экспериментальных материалов.

Моделирование заключается в исследовании моделируемого объекта на специально сформированной модели, которая подобна оригиналу, и включает следующие этапы:

1) построение модели,

2) изучение модели,

3) перенос полученных сведений на моделирующий объект.

Научно – методической основой формирования моделей является теория подобия, которая дает возможность установить наличие подобия и позволяет разработать способы его получения.

Подобие объектов заключается во взаимно – однозначном соответствии между двумя объектами, при котором функции перехода от параметров, характеризующих один из объектов, к соответствующим параметрам другого известны, а математические описания этих объектов могут быть преобразованы в тождественные. Подобными являются такие физические системы, у которых подобны все характеризующие параметры, т.е. все векторные величины геометрически подобны, а все скалярные величины пропорциональны в соответствующих точках пространства и соответствующие моменты времени. Подобие явлений характеризуется пропорциональностью всех величин, определяющих качественную и количественную стороны изучаемого явления. При решении технических задач физическое подобие рассматривают как совокупность подобия частных характеристик явления.

Геометрическое подобие выражается равенством всех соответственных углов пропорциональностью всех линейных размеров :

,

.

Здесь и далее индекс “н” относится к параметрам оригинала (натуры), “м” – к параметрам модели.

Кинематическое подобие системы определяется тождественностью направления и пропорциональностью величин времени, действующих скоростей и ускорений:

.

Динамическое подобие системы определяется тождественностью направления действия и пропорциональностью вектора сил или напряжений :

,

.

При моделировании физических явлений масштабы и другие называют масштабами модели.

В соответствии со свойствами пропорции из соотношения

следует правило замещения:

,

из которого ясно, что при установлении физического подобия явлений вместо производных (и подынтегральных выражений) от характерных величин можно рассматривать соответствующие соотношения их конечных значений, которые называются интегральными аналогами. Последнее следует из положения, что предел постоянной величины равняется самой величине.

Первая теорема подобия. Подобные объекты (явления, процессы, системы, знаковые образования и др.) имеют индикаторы подобия, равные единице, и численно одинаковые критерии подобия.

Для подобных объектов, один из которых является оригиналом, а другой моделью, описывающихся уравнениями

,

,

между отношениями масштабов, называемыми индикаторами подобия, выполняются равенства:

а отношение соответствующих членов уравнения является инвариантным и не зависящим от масштаба параметров:

,

.

Действительно, так как явления подобны, то должно иметь место равенство уравнений

,

где - масштабы (коэффициенты) величин; параметры, характеризующие систему, например, имеющие природу сил, действующих на систему.

Для соблюдения неизменности по отношению к подобным преобразованиям членов уравнения необходимо, чтобы коэффициенты уравнения были равны друг другу. Так как коэффициенты являются масштабами величин, то их равенство соблюдается в случае, если отношения

,

.

Будут оставаться неизменными для подобных преобразований. Соответствующие отношения размерных величин, которые остаются неизменными при подобных преобразованиях, являются критериями (инвариантами) подобия и обозначаются . Аргументы трансцендентных функций являются критериями подобия.

Определение параметров оригинала на основании формул подобия. Следствием рассмотренного положения является получение соотношений, позволяющих определить параметры объекта по известным параметрам модели. Если имеют место

,

где коэффициенты, определяемые на основании объекта, принятого за модель.

Свойства критериев подобия. Исходные уравнения являются гомогенными, так как все их члены имеют одинаковую размерность. Полученные критерии подобия являются безразмерными образованиями. Они определяют среднюю меру отношений между физическими эффектами, существенными для данного процесса.

Критерии можно преобразовывать в критерии другой формы и получать новые критерии путем операций деления и перемножения, полученных первоначально, а также умножением или делением их на постоянную безразмерную величину.

Однако общее количество критериев при этом должно оставаться без изменения. Так. Если . Аналогично

, где постоянная безразмерная величина.

Вторая теорема подобия (теорема) дает возможность замены уравнения между физическими величинами зависимостью между критериями подобия и формулируется так: всякое уравнение физического процесса, объединяющее между собой величин, , среди которых величин обладают независимыми размерностями, можно преобразовать к критериальному уравнению, которое связывает критериев подобия:

,

где безразмерные величины, составленные по определенному закону из величин (переменных и параметров), влияющих на ход процесса; число физических величин, имеющих независимые размерности (число основных единиц измерения должно быть больше или равно ).

Вторая теорема подобия определяет необходимое и достаточное число критериев подобия , определяющих процесс: . Теорема позволяет заменить переменные, сократив их число с размерных величин до безразмерных величин. Это упрощает обработку экспериментов при отыскании аналитической зависимости в виде регрессионного полинома, полученного в критериальной форме.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]