Vvedenie (1)

Принято называть комплексы определяющими критериями подобия. Такие безразмерные комплексы содержат независимые переменные величины и величины, в условиях однозначности. Определяемыми критериями подобия называют комплексы , которые содержат зависимую переменную как искомую величину.

Существенное значение теоремы заключается в возможности распространения результатов экспериментального или аналитического исследования по изучению конкретного явления на ряд подобных явлений. При этом важно иметь в виду ограничения на пределы существенности и постоянства критериев подобия, определяющих протекание исследуемого явления при формировании такого заключения. Важным фактором, который следует из теоремы, является возможность нахождения критериального уравнения, не имея математической модели процесса, основываясь только на анализе известных величин, определяющих процесс, и их размерности.

Третья теорема подобия. Необходимым и достаточным условием подобия двух объектов (явлений, процессов, систем и др.) является пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство определяющих критериев подобия.

Под условиями однозначности понимают геометрическую характеристику пространственной области (при соблюдении геометрического подобия), значения физических постоянных, начальные и граничные условия.

Действительно, если для систем, приведенных на рис.3.1, имеют место равенства критериев подобия:

и

то

или

,

что указывает на подобие рассматриваемых объектов.

Из условий однозначности при , , , , , следуют критерии – симплексы .

Для создания модели, в которой процесс протекал бы подобно процессу в оригинале, необходимо:

1) выбрать параметры модели из условий теории подобия и обеспечить тождественность уравнений натуры и модели, что достигается при равенстве определяющих критериев подобия,

2) добавить к определяющим критериям подобия подобные для натуры и модели граничные и начальные условия.

Переход от параметров, установленных в процессе моделирования, к параметрам оригинала в порядке прогнозирования поведения оригинала осуществляется простым пересчетом по формулам:

,

где соответствующие масштабы величин; величины, характеризующие процессы, зафиксированные при моделировании.

Для подобия явлений необходимо, чтобы они описывались одинаковыми математическими зависимостями. Однако это условие не является достаточным. При различных соотношениях численных коэффициентов и разных краевых условиях результаты решения одного и того же уравнения оказываются неодинаковыми. Условия однозначности должны быть аналогичными в модели и оригинале. Отличаться они могут лишь численными значениями величин.

Определение критериев подобия. Безразмерные соотношения, постоянство которых для рассматриваемого явления или процесса является признаком их подобия и которые называются критериями подобия, могут быть установлены несколькими способами:

1) на основании анализа размерностей величин, определяющих протекание процесса,

2) на основании анализа системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс, и условий однозначности, определяющих механизм взаимодействия рабочего оборудования со средой.

Второй способ получения критериев подобия заключается в приведении уравнений, описывающих процесс, к безразмерному виду. Анализ системы дифференциальных уравнений дает возможность использовать для вывода критериев один из трех способов, получивших наибольшее распространение:

1) подобных преобразований,

2) интегральных аналогов,

3) приведения уравнений к безразмерному виду.

Анализ размерностей позволяет отыскать критерии подобия, основываясь на общих законах, на которых построена система единиц измерения величин. Преимущество заключается в возможности получения критериев подобия без знания математической зависимости между физическими величинами изучаемого процесса. Однако в ряде случаев такой метод может привести к ошибочным результатам, если неправильно определено число и вид величин, характеризующих процесс.

При математическом моделировании применяют метод анализа уравнений, так как в этом случае уравнения известны. При физическом моделировании можно использовать оба метода.

Допустим, что для систем, изображенных на рис.3.1, значения слагаемых уравнения определяются следующим образом:

.

Общее количество физических величин, характеризующих процессы, протекающие в системах, равно пяти: масса, жесткость, линейный размер, время, сопротивление.

Для рассматриваемой системы число независимых единиц измерения равно трем (например, для величин ). Применяя теорему, находят число критериев . Так как размерности всех физических величин известны, то, составив из них два (так как ) безразмерных комплекса, получают критерии подобия без написания функциональной зависимости. Критериальное уравнение имеет вид .

Порядок составления безразмерных комплексов критериев подобия методом анализа размерностей следующий:

1) составляют перечень параметров, определяющих процесс ( и т.д.),

2) устанавливают формулы размерностей каждого из параметров,

3) заменяют в формулах основные единицы измерения соответствующими физическими величинами: , , и т.д.,

4) делят соответствующую величину на полученные выражения и получают искомые критерии подобия: , и т.д.,

5) составляют критериальное уравнение: .

Анализ уравнений позволяет получить критерии подобия на основании положения, что у подобных явлений описывающие их уравнения тождественно равны. Полагая, что для систем, приведенных на рис.3.1, справедливы уравнения , , , получаем для каждой системы:

.

Так как процессы в оригинале и модели подобны, то отношения всех характеризующих их величин должны выражаться с помощью масштабов подобия:

.

Введя выражение в уравнение для модели и разделив все члены уравнения на , получают уравнение в безразмерной форме записи:

.

Тождественность полученных уравнений следует из равенства индикаторов подобия единице:

.

Из совместного анализа выражений получают:

, .

Метод интегральных аналогов заключается в следующем:

1) уравнение приводят к безразмерному виду делением всех членов на один из них:

,

2) опускают знаки дифференцирования и интегрирования, а знаки соотношения между членами заменяют на знаки пропорциональности: ,

3) полученные безразмерные комплексы, составленные из переменных величин и параметров, являются критериями подобия: , .

4) для лучшего выявления физического смысла критериев делят и умножают некоторые из них друг на друга или на одну и ту же величину:

т.д.,

5) записывают один из критериев как функцию критериев, получая критериальное уравнение:

и т.д.