Лабораторная работа №2
«Работа с редактором таблиц Calc»
Цель работы:
1.Ознакомление с табличным редактором OpenOffice.org Calc.
2.Применение функциональности Calc для решения задач аналитической геометрии.
Вычисление обратной матрицы
Рассмотрим квадратную матрицу
а11 |
а12 ... |
a1т |
Α= a21 |
a22 ... |
a2m |
... |
... ... |
... |
|
an2 ... |
|
an1 |
anm |
Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля и вырожденной, или особенной, если её определитель равен нулю.
Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение
АВ= ВА=Е,
где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Матрица, обратная к А, обозначается через А-1, так что В= А-1. Для матрицы А обратная ей матрица А-1 определяется однозначно.
Справедливы следующие равенства:
1)∆(А-1)=(∆А)-1;
2)(А-1)-1=А;
3)(А1А2)-1=А2-1А1-1;
4)(АТ)-1=(А-1)Т.
Существуют несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:
пусть нам дана матрица А, имеющая следующий вид:
а11 |
а12 |
... |
a1т |
Α= a21 |
a22 |
... |
a2m (1) |
... |
... |
... |
... |
|
an2 |
... |
|
an1 |
anm |
Предположим, что ∆А≠0. Построим следующую матрицу С следующим образом:
|
A11 |
A21 |
... |
An1 |
|
|
|
... |
|
|
|||
|
A12 |
A22 |
An2 |
|
(2), |
|
C = |
|
|
||||
... ... |
... ... |
|
|
|||
|
A1n |
A2n |
|
|
|
|
|
... Ann |
|
||||
где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.
Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А.
Чтобы получить матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на ∆А, т.е. матрица А-1 будет иметь следующий вид:
|
|
|
A11 |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
∆ |
|||
|
1 |
|
A12 |
|||
А−1 = |
С = |
|
||||
|
∆ |
|||||
∆ |
||||||
|
|
|
||||
|
|
... |
||||
|
|
|
A1n |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∆ |
|||
|
|
|
||||
A21 |
|
|
|
|
An1 |
|
|
... |
|
|
|
||||
∆ |
|
∆ |
|
|
|||
A22 |
|
... |
|
An2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3). |
||
∆ |
|
|
∆ |
||||
|
|
|
|
|
|
||
... ... |
|
... |
|
|
|||
A2n |
|
|
... |
|
Ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆ |
|
|
∆ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Пусть матрица А, имеет следующий вид:
2 |
5 |
4 |
1 |
||
|
1 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
||||
Α = |
2 |
10 |
9 |
7 |
|
|
|
||||
|
3 |
8 |
9 |
2 |
|
|
|
||||
Чтобы найти матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо:
−вычислить определитель матрицы (∆А= -3);
−найти алгебраические дополнения элементов аij в определителе матрицы А:
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
1 |
, |
|||||||||||||||
|
А |
= |
10 9 7 |
, |
А |
= (−1) • |
|
10 9 7 |
|
, |
|
А |
= |
3 2 1 |
, |
|
А |
= (−1) • |
3 2 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
8 |
9 |
2 |
|
21 |
|
|
8 |
9 |
2 |
|
|
|
31 |
|
8 |
9 |
2 |
|
|
|
|
41 |
|
|
10 |
9 |
7 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
А |
= (−1) |
• |
|
|
2 9 7 |
, |
|
|
А |
= |
2 9 7 |
, |
|
|
А = (−1) • |
1 2 1 |
|
, |
|
А |
|
|
= |
|
1 2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
8 |
9 |
2 |
|
|
|
22 |
|
3 |
9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
1 |
|
, (4). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
А |
= |
2 |
10 |
7 |
, |
А |
= (−1) • |
2 |
10 |
7 |
|
|
, |
|
А |
= |
1 |
3 |
1 |
, |
А |
= (−1) • |
1 |
3 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
2 |
|
|
|
|
3 |
8 |
2 |
|
|
|
|
33 |
|
|
3 |
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
10 |
7 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
4 |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
А |
= (−1) |
• |
|
2 10 |
9 |
|
|
А |
= |
|
2 10 |
9 |
|
, |
А34 |
= (−1) |
• |
1 3 2 |
|
|
А |
= |
|
1 3 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
14 |
|
|
|
3 |
8 |
9 |
|
|
24 |
|
3 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
9 |
|
|
|
44 |
|
|
2 |
10 |
9 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
−составить присоединённую матрицу С по формуле (2);
−разделить все элементы матрицы С на ∆А.
Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Writer присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в программе Calc найдём обратную матрицу А-1 (по формуле (3)) для матрицы
А.
1.Включите компьютер.
2.Подождите пока загрузится операционная система Windows, после чего откройте окно Writer.
3.Вставьте объект Формула Math.
4.Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:
•запишите алгебраическое дополнение А12., используя строку раздел Форматы в диалоге «Элементы формулы (Вид->Элементы формулы);
•вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе (matrix, заполните недостающие знаки # и <?> в фигурных скобках;
•занесите числовые значения определителя в свободные поля;
Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А12-А44 В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы
Calc.
5.Откройте окно Calc.
6.Перепишите матрицу А и формулу (4) из Writer в Calc.
7.Используя функцию MDTERM, которая находится в мастере функций ƒх, посчитаем,
чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:
•активизируйте ячейку D9;
•выполните нажатие ЛКМ на кнопке ƒх в стандартной панели задач;
•в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ выберите МАССИВ, а в окне ФУНКЦИЯ –
MDTERM;
•выделите область A6÷C8;
•выполните нажатие ЛКМ на кнопке.
Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими
дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А11= -45, А12= 20, А13=1, А14=-17, А21=63,
А22= -31, А23=1, А24=25, А31= -6, А32=3, А33=0, А34= -3, А41=12, А42= -5, А43= -1, А44=5.
Как вы видите, значение дополнения А33 записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:
•активизируйте ячейку L17, после чего нажатие ПКМ;
•на экране компьютера появится контекстное меню;
•выполните нажатие ЛКМ на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК
•после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ
•выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК. После чего алгебраическое дополнение
А33=0
Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а
данную операцию будем обозначать: поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.
8.Найдём в Calc матрицу А-1, обратную для А. Для этого:
•заполните ячейки А22÷D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23÷D26 записана присоединённая матрица С.
•активизируйте ячейку А28 и запишите с клавиатурыРис.в8неё.5 формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением в ячейки В28÷D28; А29÷А31 и
В29÷D31
•Выделите область А28÷D31, после чего поменяйте формат выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ
9.Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:
•выделите область F28÷I31;
•воспользуйтесь функцией MINVERSE, которая находится в мастере функций ƒх (категория – МАССИВ);
•на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш:
Shift+Ctrl+Enter.
Врезультате чего в ячейках появятся следующие значения. Полученные значения
доказывают правильность произведённых вычислений.
Задания для самостоятельной работы.
1) |
2 |
2 |
-1 |
1 |
|
1 |
-0,5 |
0,5 |
-1 |
2) |
3 |
4 |
1 |
2 |
|
6 1/3 |
-4 1/6 |
-2 |
2 5/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/3 |
|
|
4 |
3 |
-1 |
2 |
ответ: |
1 |
0,5 |
-0,5 |
0 |
|
3 |
5 |
3 |
5 |
отве |
-5 |
3,5 |
2 |
-2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т: |
|
|
|
|
|
8 |
5 |
-3 |
4 |
|
-1 |
1,5 |
-0,5 |
0 |
|
6 |
8 |
1 |
5 |
|
2 |
-0,5 |
-1 |
0,5 |
|
3 |
3 |
-2 |
2 |
|
-4 |
1,5 |
-0,5 |
2 |
|
|
3 |
|
5 |
|
3 |
7 |
|
0 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
2 |
3 |
1 |
5 |
|
- 2/7 |
2/7 |
5/7 |
- 1/7 |
4) |
2 |
-2 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1/4 |
1/6 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
5 |
2 |
ответ: |
1 2/7 |
-2 |
2/7 |
- 1/3 |
|
2 |
3 |
|
1 |
|
-3 |
|
отве |
- 1/6 |
0 |
0 |
1/8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
4/5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т: |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
2 |
|
- 1/7 |
2/3 |
- 1/7 |
0 |
|
|
3 |
4 |
|
-1 |
2 |
|
|
3/8 |
- 1/2 |
- |
1 1/7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/3 |
|
|
1 |
1 |
3 |
4 |
|
- 1/7 |
1/7 |
- 1/7 |
3/7 |
|
|
1 |
3 |
|
1 |
|
-1 |
|
|
1/8 |
- 2/5 |
0 |
4/9 |
||
5) |
2 |
-2 |
0 |
1 |
|
1/4 |
1/6 |
0 |
0 |
6) |
2 |
5 |
|
4 |
|
1 |
|
|
1 |
- 1/3 |
- |
1/7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
2 |
3 |
1 |
-3 |
ответ: |
- 1/6 |
0 |
0 |
1/8 |
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
1 |
|
отве |
- 4/5 |
1 5/7 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т: |
|
|
|
|
|
3 |
4 |
-1 |
2 |
|
3/8 |
- 1/2 |
- 1/3 |
1 1/7 |
|
|
2 |
1 |
|
9 |
|
7 |
|
|
5/6 |
-2 |
1/5 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
-1 |
|
1/8 |
- 2/5 |
0 |
4/9 |
|
|
3 |
8 |
|
9 |
|
20 |
|
|
- 1/5 |
2/7 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7) |
1 |
1 |
-6 |
-4 |
|
- 1/9 |
1/4 |
0 |
0 |
8) |
4 |
-3 |
|
1 |
|
5 |
|
|
1/2 |
0 |
- |
1/3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/5 |
|
|
3 |
-1 |
-6 |
-4 |
ответ: |
2/5 |
- 1/4 |
0 |
0 |
|
|
1 |
-2 |
-2 |
-3 |
|
отве |
1/2 |
- 2/9 |
- |
2/5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т: |
|
|
8/9 |
|
|
2 |
3 |
9 |
2 |
|
- 1/9 |
0 |
0 |
0 |
|
|
3 |
-1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
- 1/2 |
- 1/9 |
1 |
- 2/7 |
||
|
3 |
2 |
3 |
8 |
|
0 |
0 |
0 |
1/9 |
|
|
2 |
3 |
|
2 |
|
-8 |
|
|
1/5 |
- 1/9 |
- |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9) |
7 |
9 |
4 |
2 |
|
1 |
0,6 |
-2 |
1,4 |
10) |
2 |
-1 |
-6 |
3 |
|
|
- 2/9 |
3/8 |
0 |
-1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/6 |
|
2 |
-2 |
1 |
1 |
ответ: |
0 |
-0,2 |
0 |
0,2 |
|
|
7 |
-4 |
2 |
|
-15 |
отве |
0 |
1/4 |
- |
-1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т: |
|
|
1/3 |
1/6 |
|
5 |
6 |
3 |
2 |
|
-1 |
-0,6 |
3 |
-3,4 |
|
|
1 |
-2 |
-4 |
9 |
|
|
- 2/7 |
1/8 |
0 |
- 1/3 |
||||
|
2 |
3 |
1 |
1 |
|
-1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
-1 |
2 |
|
-6 |
|
|
- 1/8 |
0 |
0 |
- 2/7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11) |
6 |
5 |
-2 |
4 |
|
0 |
- 1/3 |
3/4 |
3/7 |
12) |
3 |
-2 |
-5 |
1 |
|
|
0 |
1/4 |
2/5 |
0 |
|||||
|
9 |
-1 |
4 |
-1 |
ответ: |
0 |
1/9 |
- 1/5 |
- 1/5 |
|
|
2 |
-3 |
|
1 |
|
5 |
|
отве |
- 1/6 |
0 |
3/8 |
1/5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т: |
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
-2 |
|
- 1/6 |
1 2/7 |
-2 |
-1 |
|
|
1 |
2 |
|
0 |
|
-4 |
|
|
- 1/7 |
1/6 |
1/9 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1/4 |
1/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
-9 |
0 |
2 |
|
0 |
1 |
-2 |
-1 |
|
|
1 |
-1 |
-4 |
9 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1/9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13) |
2 |
-3 |
3 |
2 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
14) |
1 |
1 |
|
-6 |
-4 |
|
|
- 1/9 |
1/4 |
0 |
0 |
||||
|
6 |
9 |
-2 |
-1 |
ответ: |
0 |
1/6 |
0 |
0 |
|
|
3 |
-1 |
-6 |
-4 |
|
отве |
2/5 |
- 1/4 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т: |
|
|
|
|
|
10 |
3 |
-3 |
-2 |
|
2/3 |
1/2 |
- 1/7 |
- 1/3 |
|
|
2 |
3 |
|
9 |
|
2 |
|
|
- 1/9 |
0 |
0 |
0 |
||
|
8 |
6 |
1 |
3 |
|
- 1/2 |
- 1/2 |
0 |
1/2 |
|
|
3 |
2 |
|
3 |
|
8 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1/9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15) |
1 |
2 |
3 |
-2 |
|
0 |
1/9 |
1/6 |
1/9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
-2 |
-3 |
ответ: |
1/9 |
0 |
1/9 |
- 1/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
-1 |
2 |
|
1/6 |
- 1/9 |
0 |
1/9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-3 |
2 |
1 |
|
- 1/9 |
- 1/6 |
1/9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|