17.2. Свободные вертикальные колебания груза

Рассмотрим теперь колебания груза М массы mна вертикальной пружине жесткости с. Примем груз за материальную точку.

Рис. 13

Пусть ABна рис. 13 означает недеформированную пружину, закрепленную в точке А. После подвешивания груза и медленного (статического) опускания конец пружины займет равновесное положение О, которое и примем за начало координат, направив осьвертикально вниз. Отрезок ВО называется статическим удлинениемпружины. Поскольку в положение равновесия сила упругости пружины равна весу груза, то по формуле (4.2). Откуда

(4.7)

Рассмотрим положение груза М и а некоторый момент колебаний. На груз М действует сила тяжести и упругая сила пружины, так как удлинение пружины.

Дифференциальное уравнение запишется в виде:

После деления на mполучим, т.е то же самое дифференциальное уравнение (4.3), что и для горизонтальных колебаний. Поскольку в силу (4.7), то период колебаний можно записать в виде

18. Относительное движение материальной точки

1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в неинерциальной системе отсчета.

2. Частные случаи относительно движения точки.

18.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в неинерциальной системе отсчета.

Второй закон динамики и полученные из него ранее уравнения и теоремы верны только для абсолютного движения точки, т.е. движения по отношению к инерциальной системе отсчета.

Пусть точка М массы mдвижется под действием сил. Рассмотрим движение этой точки относительно системы координат, которая в свою очередь каким – то известным нам образом движется относительно инерциальной системы координат(рис.14).

Рис. 14

Найдем зависимость между относительным ускорением точки и действующими на нее силами. Для абсолютного движения основной закон динамики имеет вид:

(5.1)

Из кинематики известно, что абсолютное ускорение , где

,,– относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.

Подставляя в равенство (5.1) и считая в дальнейшем, так как эта величина представляет собой ускорение изучаемого нами относительного движения, получим. Так как- переносная сила инерции;- кориолисова сила инерции, то

(5.2)

Равенство (5.2) выражает основной закон динамики для относительного движения точки. Сравнивая равенства (5.1) и (5.2) приходим к выводу: все уравнения и теоремы механики составляются так же, как уравнения абсолютного движения, если при этом к действующим на точку силам присоединить переносную и кориолисову силы инерции.

Проецируя равенство (5.2) на оси подвижной системы координат получим дифференциальные уравнения движения точки в неинерциальной системе отсчета:

18.2. Частные случаи относительно движения точки

15. Если подвижные оси движутся поступательно, то , так как в этом случае(- угловая скорость вращения подвижных осей) и закон относительного движения принимает вид:

15. Если подвижные оси перемещаются поступательно, равномерно и прямолинейно, то и закон относительного движения принимает вид, т.е. такой же вид, как и закон относительного движения, принимает вид, как и закон движения по отношению к неподвижным осям. Следовательно, такая система отсчета также будет инерциальной.

Из полученного результата вытекает, что никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движение. В этом состоит открытый еще Галилеем принцип относительности классической механики.

15. Если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее и, а следовательно и, так как кориолисово ускорение. Тогда равенство (5.2) примет вид

(5.3)

Уравнение (5.3) представляет собой уравнение относительного равновесия (покоя) точки.