16.4. Работа силы. Мощность

Элементарной работой силы на элементарном перемещенииназывается скалярная величина(рис. 6)

Рис. 6

Так как , то

(3.6)

, если силаспособствует движению точки- острый.

, если силапрепятствует движению точки- тупой.

, если

Если учесть, что , где- вектор элементарного перемещения точки М и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (3.6) можно записать в виде

(3.7)

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения ее точки приложения. Через проекции векторов ина координатные оси равенство (37) запишется в виде– аналитическое выражение элементарной работы.

Работа силы на любом конечном перемещении будет равна

(3.8)

или

(3.9)

Если , то, где.

Мощность. Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность , где– время, в течении которого совершена работа А

В общем случае

16.5. Примеры вычисления работы.

1. Работа силы тяжести.

Пусть точка М, на которую действует сила тяжести , переместилась из положенияв положение(рис.7)

Рис. 7

Тогда ,. Подставляя эти значения в формулу (3.9), получим

обозначая , получим

(3.10)

Если точка выше (ниже) точки, то, ()

Из равенства (3.10) видно, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения точки М, а зависит только от ее вертикального перемещения h.

2. Работа силы упругости.

Пусть длина ненапряженной пружины . Растянем (сожмем) пружину до длины. Тогда по закону Гука возникает сила упругости. по модулю, где с н/м – коэффициент упругости (жесткости) пружины,- деформация пружины.

Рис. 8

Примем конец О ненапряженной пружины за начало координат (рис.8). Тогда и. У нас. По формуле (3.9), имеем.

Так как – начальная деформация пружины, где– начальная длина пружины.

– конечная деформация пружины, то, где– конечная длина пружины, то

3. Работа силы трения скольжения.

Пусть точка движется по некоторой шероховатой поверхности (рис. 9).

Рис. 9

Тогда на точку будет действовать сила трения скольжения . По модулю, где- коэффициент трения скольжения,N– нормальная реакция поверхности. Так как силапрепятствует движению точки, то ее элементарная работа

Полная работа . Если, то, где=

4. Работа силы, приложенной к вращающемуся телу (работа момента).

Пусть к твердому телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси Zв точке М, приложена сила(рис.10). Элементарная работа этой силы будет равна. Так как- момент силыотносительно осиZ, то, где- элементарный угол поворота тела вокруг осиZ. Такая работа при повороте тела на угол, будет равна.

Если , то.

Рис. 10

Работа момента положительна (отрицательна), если момент способствует (препятствует) вращению тела вокруг оси Z.

5. Работа сил трения качения.

Как было показано в статике, сопротивление качению создает возникающая, вследствие деформации поверхностей тел, пара с моментом , где- коэффициент трения качения;N- нормальная реакция.

Так как момент препятствует качению тела, то его элементарная работа, где- элементарный угол поворота тела вокруг мгновенного центра скоростейB. (рис. 11).

Рис. 11

Учитывая, что , где– радиус, получим

При

, где- путь, пройденный центром.