23. Малые колебания консервативной системы около положения равновесия

23.1 Кинетическая и потенциальная энергия малых колебаний

Вернемся к уравнениям Лагранжа в форме:

При стационарных связях кинетическая и потенциальная энергия:

В положении равновесия ,,. В отклоненном положении координатыи их скоростиявляются малыми величинами. Функции Т и П можно разложить по степеням малых величин. Как доказывается / /, при малых колебаниях кинетическая и потенциальная энергия выражаются квадратичными формами с постоянными коэффициентами:

где

- коэффициенты инерции (постоянные),

- коэффициенты обобщенной жесткости (квазиупругие коэффициенты), также постоянные.

Для системы с одной степенью свободы:

(10.1)

Для системы с двумя степенями свободы:

(10.2)

Уравнения Лагранжа при малых колебаниях, поскольку кинетическая энергия не зависит от обобщенных координат, можно записывать в форме:

.

23.2 Понятие об устойчивости равновесия

Колебания системы будут оставаться малыми, если они совершаются в окрестности её устойчивого положения равновесия. Устойчивость есть либо стремление системы вернуться в исходное положение, после того как она из него была выведена, либо как способность пребывать вблизи этого исходного положения. В первом случае устойчивость называют асимптотической, во втором – обыкновенной. Если же система, после того как её точкам сообщили малые смещения и скорости, еще далее начинает уходить от положения равновесия, то её положение равновесия будет называться неустойчивым. Строгое понятие устойчивости и неустойчивости дано А. М. Ляпуновым - / /.

На рис. показан пример – шарик на гладкой поверхности.

Рис. 46

Нетрудно оценить его состояние равновесия в отношении устойчивости. В случае а) равновесие устойчиво, в случае б) – неустойчиво. Случай в) является особенным. Здесь шарик безразличен к смещениям, но неустойчив относительно скоростей. Подобные системы изучаются в теории устойчивости движения.

Достаточный признак устойчивости равновесия консервативной системы сформулирован в теореме Лагранжа-Дирихле: если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, то равновесие устойчиво.

Отсюда следует, что вопрос об устойчивости сводится к изучению структуры выражения потенциальной энергии.

.

10.3

В положении равновесия П = 0. Чтобы нулевое значение было минимумом, функция П в окрестности этой точки должна быть определенно положительной квадратичной формой. Оценочным критерием определенной положительности квадратичной формы являются неравенства Сильвестра.

.

10.4

Данные неравенства можно трактовать как условия устойчивости положения равновесия консервативной системы.

Примеры.

1. Однородный брусок заданных размеров и веса положен на цилиндр заданного радиуса. Относительное перемещение бруска и цилиндра происходит при чистом качении. Выяснить, при каком условии равновесие бруска на цилиндре будет устойчивым?

Рис. 47

Сообщим системе перемещение и составим выражение потенциальной энергии силы тяжести:

(1)

Равновесие устойчиво, если:

.

(2)

Из (1) находим производные:

Отсюда при получаем условие устойчивости:

(3)

На рис. показаны возможные случаи устойчивости и неустойчивости.

Рис. 48