22.5 Принцип Гамильтона – Остроградского

Данный принцип касается в первую очередь, скажем так, философии механического движения. Сущность вопроса состоит в следующем. Представим себе движущуюся механическую систему. Поставим ей в соответствие наглядный геометрический образ – некоторую условную точку, которую назовем изображающей точкой. Это позволяет ввести понятие о траектории изображающей точки (рис. 45). Возьмем на траектории положения A₀иA₁, соответствующие моментам времениt₀иt₁. При заданных силах и характере связей можно представить множество путей перехода системы изA₀вA₁за времяt₁- t₀. Спрашивается, какой путь выбирает система? Или иначе, какой путь является истинным? Принцип Гамильтона – Остроградского дает ответ на этот вопрос.

Рис. 45

Вернемся к общему уравнению динамики:

.

(9.33)

Отделим работы сил активных от работы сил инерции и проинтегрируем равенство по времени в пределах от t₀доt₁:

.

(9.34)

Допустим, что система движется в потенциальном силовом поле. В этом случае элементарная работа сил выражается особенно просто:

Доказывается также, что .

Таким образом, равенство (9.34) приводится к виду:

,

(9.35)

где L=T– П – кинетический потенциал.

Интеграл называют действием по Гамильтону.

Окончательно, принцип Гамильтона – Остроградского:

(9.36)

Принцип утверждает: действие по Гамильтону Sимеет стационарное значение на истинном пути системы, если к сравнению с ним привлекается многообразие окольных путей, совпадающих с истинным в начальный и конечный моменты времениt₀иt₁.

Если интервал времени t₁- t₀достаточно мал, действиеSимеет минимум. [Четаев].

22.6 Обобщенное уравнение энергии

Вернемся к уравнениям Лагранжа:

(9.37)

Обобщенную силу представим в виде суммы трех слагаемых

(9.38)

Здесь

- потенциальная сила,

- сила сопротивления,- функция рассеяния,

- возмущающая сила, явно зависящая от времени.

Уравнения (9.37) примут вид:

(9.39)

Умножим обе части в (9.39) на и сложим почленно:

(9.40)

Будем предполагать, что функции Tиявляются квадратичными формами относительно обобщенных скоростей, П зависит только от обобщенных координат. При таких оговорках:

(9.41)

Что касается правой части - она представляет собой мощность возмущающих сил.

Уравнение (9.40) в окончательном виде:

(9.42)

Его называют обобщенным уравнением энергии.

Отметим частные случаи.

15. При N = 0, = 0:

.

Если в системе нет возмущающих сил и сил сопротивления, полная энергия системы не изменяется (закон сохранения механической энергии).

15. При = 0:

Если в системе нет сил сопротивления, энергия системы увеличивается, и скорость её нарастания равна мощности возмущающих сил.

Характерно для фазы разгона систем без сопротивления.

15. При N= 0:

Если в системе нет возмущающих сил, энергия системы убывает, и скорость её убывания равна удвоенной функции рассеяния.

Характерно для затухающих процессов.

15. При :

.

В системах с сопротивлением, при постоянстве механической энергии, мощность возмущающих сил равна удвоенной функции рассеяния. Характерно для установившихся процессов.