21.3 Дифференциальные уравнения плоскопараллельного (плоского) движения твердого тела

Как известно из кинематики, положение тела, совершающего плоское движение, определяется в любой момент времени положением полюса и углам поворота вокруг полюса.

Рис. 34

Рассмотрим сечение тела плоскостью параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс (рис. 34). Если за полюс принять центр масстела, то положение тела будет определяться координатами,и углом. Пусть на тело действуют внешние силы, лежащие в плоскости сечения.

Разделяя плоское движение данного тела на поступательное движение вместе с центром масс и вращательное движение вокруг оси, перпендикулярной плоскости сечения, получим дифференциальные уравнения плоскопараллельного (плоского) движения тела:

,,

(8.3)

При несвободном движении, когда траектория центра масс известна, уравнения движения точки удобнее составлять на касательнуюи нормальк этой траектории. Тогда вместо (8.3) получим:

,,, где

- радиус кривизны траектории центра масс.

21.4 Элементарная теория гироскопа

Гироскопом называют симметричное твердое тело совершающее движение вокруг неподвижной точки , расположенной на оси симметрии. Осьгироскопа, как ось симметрии, является одновременно его главной центральной осью инерции. Простейшим примером гироскопа является детский волчок. В гироскопических приборах ротор гироскопа обычно закрепляют в кардановом (кольцевом) подвесе, позволяющем ротору совершить любой поворот вокруг неподвижного центра подвеса, совпадающего с центром тяжести ротора. Такой гироскоп, как и волчок имеет три степени свободы.

У гироскопов, применяемых в технике, угловая скорость (омега) вращения гироскопа вокруг осибольше угловой скорости, которую может иметь сама осьпри ее повороте вместе с гироскопом вокруг точки, в десятки и сотни тысяч раз (), что позволяет построить весьма эффективную приближенную теорию гироскопа, называемую элементарной или прецессионной. Исходят при этом из следующего.

В каждый момент времени абсолютная угловая скорость гироскопа , а его движение, как движение тела, имеющего неподвижную точку, слагается из серии элементарных поворотов с этой угловой скоростьювокруг мгновенных осей вращения(рис. 35)

Рис. 35

Но когда , уголмежду векторамииочень мал и практически можно принять, что, а осьв любой момент времени совпадает с осьюгироскопа. Тогда кинетический моментгироскопа относительно точкиможно тоже считать в любой момент времени направленным вдоль осии численно равным. В этом и состоит основное допущение элементарной теории гороскопа. Таким образом, в дальнейшем будем считать, где- момент инерции гироскопа относительно его оси, а саму осьи векторполагать все время направленным вдоль одной и той же прямой.

Исходя из элементарной теории, установим каковы основные свойства гироскопа.

1. Свободный трехстепенной гироскоп

Рассмотрим гироскоп с тремя степенями свободы, закрепленный так, что его центр тяжести неподвижен, а ось может совершать любой поворот вокруг этого центра. Такой гироскоп называют свободным. Для него, если пренебречь трением в осях подвеса, будет

и, т.е. модуль и направление кинетического момента гироскопа постоянны. Но так как направления вектораи осигироскопа все время совпадают, то следовательно и ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной системе отсчета. Это одно из важных свойств гироскопа, используемое при конструировании гироскопических приборов.

2. Действие силы (пара сил) на ось гироскопа. Устойчивость оси гироскопа.

Пусть на ось гироскопа начинает действовать сила , момент которой относительно центраравен(или пара силс моментом равным) (рис. 36).

Рис. 36

Тогда по теореме об изменении кинетического момента или, где- точка оси, совпадающая с концом вектора. Отсюда, учитывая, что производная от векторапо времени равна скороститочки, получаем

(8.4)

Равенство (8.4) выражает теорему Резаля: скорость конца вектроа кинетического момента тела относительно центра равняется по модулю и направлению главному моменту внешних сил относительно того же центра. Следовательно точка, а с нею и ось гироскопа, будет перемещаться по направлению вектора. В результате находим, что если на ось быстро вращающегося гироскопа действует сила, то ось начнет отклоняться не в сторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектормомент этой силы относительно неподвижной точкигироскопа, т.е. перпендикулярно силе. Аналогичный результат имеет место и при действии на ось гироскопа пары сил.

Из равенства (8.4.) следует, что когда действие силы прекратится, то , а следовательно иобращается в нуль и ось гироскопа останавливается. Таким образом, гироскоп не сохраняет движения, сообщенного ему силой. Если действие силы является кратковременным (толчок), то ось гироскопа практически не изменяет своего направления. В этом проявляется свойство устойчивости оси быстро вращающегося гироскопа.

3. Прецессия гироскопа.

Допустим, что сила (или пара сил) действует на гироскоп во все рассматриваемое время его движения, оставаясь в плоскости(такой силой может, например, быть сила тяжести). Так как по установленному выше осьв сторону действия силы не отклоняется, то уголостается все время постоянным, а скорость- перпендикулярной плоскости.

Следовательно, ось гироскопа будет вращаться (прецессировать) вокруг осис некоторой угловой скоростью, называемой угловой скоростью прецессии. Найдем уравнение, определяющее. Так как осьвращается вокруг осис некоторой угловой скоростью, то по формуле вектора скорости точки, где

- радиус – вектор точки, имееми равенство (8.4.) дает

Это уравнение является исходным приближенным уравнением элементарной (прецессионной) теории гироскопа. Из него следует, что , откуда

Чем больше , тем меньшеи тем большую точность дает элементарная теория.