20.2 Теоремы об изменении количества движения и теорема о движении центра масс

Сложим почленно уравнения (7.3), получим:

(7.5)

Здесь:

Векторную величину называют количеством движения системы. Тогда (7.5) примет вид:

(7.6)

Теорема: производная по времени от вектора количества движения равна главному вектору внешних сил.

В интегральной форме теорема записывается так:

(7.7)

где - количество движения системы в моменты времениtoиt,

- сумма импульсов внешних сил.

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за то же время.

Если (7.6) спроектировать на направление Ох, получим теорему в скалярной форме:

(7.8)

Производная по времени от проекции количества движения равна алгебраической сумме проекций внешних сил (на одно и тоже направление). В случае из (7.8) следует:

Когда сумма проекций внешних сил на некоторое направление обращается в нуль, количество движения системы по этому направлению не изменяется. В этом заключается закон сохранения количества движения (в скалярной форме)

Вернемся к (7.5). С учетом (7.2) и сказанного о свойстве внутренних сил получим теорему о движении центра масс:

(7.9)

Произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору внешних сил. Или в другой формулировке: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних сил. Вся система как бы сжалась в точке С, а все внешние силы как бы перенесены параллельно своим направлениям в эту же точку.

Проектируя (7.9) на направление Ох, получим теорему в скалярной форме:

(7.10)

Отсюда, в случае , следует закон сохранения движения центра масс:

Если сумма проекций внешних сил на некоторое направление равна нулю, то центр масс системы по этому направлению движется с постоянной скоростью (или находится в покое).

Теорема (7.6) имеет более универсальный характер. Она применима и в механике сплошной среды. Теорема (7.9) является разновидностью, удобной в динамике твердого тела. Рассмотренные теоремы характеризуют поступательное движение системы вместе с центром масс. Что касается закона вращения системы, то он дается теоремой об изменении кинетического момента.

Примеры

1.Платформа массы М стоит на рельсах. На ней находиться человек массыm, который также неподвижен. В некоторый момент человек начинает перемещаться по платформе со скоростью(относительно платформы). Определить скоростьплатформы. Трением колес о рельсы пренебречь.

Рис. 26

Изобразим все внешние силы, действующие на систему. Это будут силы тяжести ии нормальные реакциирельсов. Очевидно, что. Следовательно, по направлению оси Ох выполняется закон сохранения количества движения. В начальный момент количество движения системы равно нулю. Оно останется нулем и в другое последующее время. Для текущего времени. В силу закона сохранения:

Отсюда находится скорость платформы:

Знак минус свидетельствует о том что, когда человек пойдет направо (согласно рисунку), платформа будет уходить влево. При этом колеса вращаться не будут, и платформа не будет отличаться от саней.

2.Электродвигатель установлен свободно на горизонтальной шероховатой плоскости. Дано:- масса станины,- масса ротора, ω - угловая скорость вращения

ротора (постоянная), АВ=s- смещение центра масс ротора относительно оси вращения вала. Выяснить условия, при которых возможны перемещения двигателя по плоскости и его подпрыгивание.

Рис. 27

Изображаем все действующие на систему силы: задаваемые и реакции плоскости. Применительно к нашей задаче записываем теорему о движении центра масс:

(1)

где - масса системы,,.

По определению центра масс имеем равенства:

Отсюда, приняв во внимание, что аиb– постоянные, получим:

(2)

Решая (1) и (2) совместно, найдем:

Наибольшее значение реакции . Сдвиг электродвигателя по плоскости произойдет в том случае, если силы трения плоскости окажутся меньше, чем. Наименьшее значение реакции. Двигатель может оторваться от плоскости и подпрыгнуть, если.