В виде последовательного соединения двух фильтров

Каждому элементу задержки на схеме фильтра соответствует ячейка памяти цифрового устройств. Из рисунка видно, что для хранения одной переменной используется две ячейки памяти. Такое дублирование устраняется использованием одной линией задержки максимальной длины. При этом схема фильтра при M=Nпреобразуется к виду, представленному на рисунке 2.19. Это и есть каноническая форма программной реализации фильтра.

Достоинством канонической формы является меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.

Рисунок 2.19 – Каноническая форма программной реализации фильтра

Однако обычно вместо структуры, изображенной на рисунке 2.19, используется параллельное или последовательное соединение звеньев второго порядка. Такое представление фильтра связано с возможностью представления системной функции H(z) в виде произведения или суммы системных функций с полиномами второго порядка в числителе и знаменателе

, (2.19)

, (2.20)

где L– порядковый номер звена,L_max– максимальное значение номера звена

При четном Nфильтр состоит изN/2 звеньев второго порядка, при нечетномNфильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.

Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B₂иA₂равны нулю.

Соотношению (2.19) соответствует схема рисунка 2.20 а, а соотношению (2.20) – схема рисунка 2.20 б.

Типовая схема звена второго порядка приведена на рисунке 2.21. В англоязычной литературе звено второго порядка принято называть биквадратным звеном. На входе звена показан масштабный коэффициент M_L(как правило, меньше единицы), предотвращающий появление в процессе вычислений значений сигналов фильтра, выходящих за пределы разрядной сетки вычислительного устройства с фиксированной точкой.

Рисунок 2.20- Последовательное (а) и параллельное (б) соединение

звеньев фильтра

Рисунок 2.21 – Типовое звено второго порядка

2.9. Фильтры с конечной импульсной характеристикой

2.9.1. Фильтр с линейной ФЧХ

Случай 1. Симметричная импульсная характеристика, длина импульсной характеристики N– нечётное число

На рисунке 2.22 приведена симметричная импульсная характеристика конечной длины N, гдеN– нечётное число.

.

Рисунок 2.22. Симметричная импульсная характеристика КИХ – фильтра

при нечётном N

Характеристика симметрична относительно центрального отсчёта с номером

Значение центрального отсчёта равно По обе стороны от центрального отсчета находитсяотсчётов со значениями

Определим системную функцию как прямое Z– преобразование импульсной характеристики

Найдём комплексный коэффициент передачи, используя подстановку ,

(2.21)

где

Тогда АЧХ и ФЧХпри нечётномNопределятся следующими соотношениями:

(2.22)

Из последнего соотношения видно, что ФЧХ фильтра линейна, а АЧХ определяется абсолютной величиной суммы ряда косинусов.

На рисунке 2.23 приведена структурная схема фильтра с линейной ФЧХ при нечетном N=5.

Рисунок 2.23. КИХ-фильтр с линейной ФЧХ при нечётном N=5

При длине импульсной характеристики, определяемой нечётным числом N, количество элементов задержки является чётным числомN-1, а коэффициенты системной функции симметричны относительно середины линии задержки.

Случай 2. Симметричная импульсная характеристика, длина импульсной характеристики N– чётное число

В этом случае ось симметрии проходит между центральными отсчетами с номерами (рисунок 2.24). Определим системную функцию фильтра

Рисунок 2.24. Симметричная импульсная характеристика КИХ – фильтра

при чётном N

Подставив в выражение для системной функции , найдём комплексный коэффициент передачи фильтра

(2.23)

где .

Тогда АЧХ и ФЧХпри чётномNопределятся следующими соотношениями:

(2.24)

Из (2.24) видно, что ФЧХ линейна.

На рисунке 2.25 приведена структурная схема фильтра с линейной ФЧХ при четном N=4.

При длине импульсной характеристики, определяемой чётным числом N, количество элементов задержки является нечётным числомN-1, а коэффициенты системной функции симметричны относительно центрального элемента линии задержки.

Рисунок 2.25. КИХ-фильтр с линейной ФЧХ при чётном N=4

2.9.2. Однородный фильтр

Однородным называется фильтр, у которого все отсчёты импульсной характеристики одинаковы. Для уменьшения количества операций умножения при реализации фильтра эти отсчёты принимаются равными единице, а коэффициент передачи фильтра регулируется масштабным коэффициентом на его входе. Однородный фильтр называют также фильтром скользящего среднего.

На рисунке 2.26 приведена импульсная характеристика однородного фильтра длиной N=5, а на рисунке 2.27 его структурная схема.

Рисунок 2.26. Импульсная характеристика однородного фильтра при N=5

Рисунок 2.27. Однородный фильтр

Пусть требуется определить и построить графики АЧХ и ФЧХ фильтра. Решим эту задачу двумя способами.

Способ 1. Воспользуемся соотношениями (2.21) при N=5 иb_k=1 дляk=0, 1, 2, 3, 4.

Тогда

(2.25)

На рисунках 2.28 и 2.29 приведены АЧХ и ФЧХ однородного фильтра при N=5

Рисунок 2.28. Функция и АЧХ однородного фильтра

Рисунок 2.29. ФЧХ однородного фильтра до и послеприведения в интервал

от -до

Из АЧХ следует, что однородный фильтр является фильтром нижних частот. Особенностью АЧХ являются пульсации в полосе задерживания. Максимальный коэффициент передачи фильтра равен K(0)=5. Чтобы его уменьшить, например, до единицы, нужно использовать на входе фильтра масштабный коэффициентM=1/5, как это показано на рисунке 2.30.

Рисунок 2.30. Однородный фильтр с масштабным коэффициентом Mна входе

На рисунке 2.29 слева сплошными линиями представлена ФЧХ рассчитанная по (2.25), а пунктиром показаны её составляющиеи.

Однако общепринятым является представление ФЧХ в интервале от до. Такое представление связано с периодичностью синусоидального сигнала. Ведь ФЧХ показывает, какой фазовый сдвиг приобретает синусоидальный сигнал при прохождении через фильтр, а для синусоиды фазовый сдвиг, кратный, эквивалентен нулевому фазовому сдвигу. Следовательно, ФЧХможно ввести в интервал отдопутем прибавления или вычитания целого числа

(2.26)

Если после выполнения (2.26) не войдёт в заданный интервал, то (2.26) нужно выполнить повторно, предварительно приняв

В рассматриваемом случае достаточно прибавить к в интервале значений, при которыхВ результате получается ФЧХ, приведённая на рисунке 2.29 справа. На этом же рисунке приведена исходная ФЧХ, которая отличается оттолько на участке, где.

Способ 2. В соответствии со схемой 2.27 запишем разностное уравнение

Найдём Z-преобразование последовательности

Определим системную функцию

Используя подстановку , получим выражение для комплексного коэффициента передачи

Из последнего соотношения получим

Как видно, полученные соотношения не отличаются от (2.25).

Выясним влияние длины импульсной характеристики Nна АЧХ и ФЧХ фильтра. Для этого выполним расчёт АЧХ и ФЧХ приN=10. Из (2.24) приполучим

Рассчитанные по этим формулам АЧХ и ФЧХ приведены на рисунках 2.30 и 2.31. Для приведения ФЧХ в стандартный интервал соотношение (2.26) было применено дважды.

Рисунок 2.30. Функция и АЧХ однородного фильтра приN=10

Рисунок 2.31. ФЧХ однородного фильтра при N=10 без приведения и с приведением

в интервал от до

На рисунке 2.32 приведены АЧХ однородных фильтров с масштабными коэффициентами на входе, выбранных из условия получения максимального коэффициента передачи фильтров, равного единице, при N=5 иN=10.

Рисунок 2.32. АЧХ однородных фильтров при N=5 () иN=10 (

Из рисунка видно, что увеличение длины линии задержки

• сужает полосу пропускания фильтра,

• увеличивает частоту пульсаций АЧХ в полосе задерживания,

• уменьшает амплитуду пульсаций в полосе задерживания.

2.9.3. Триангулярный фильтр

Триангулярным называется фильтр с треугольной огибающей отсчетов импульсной характеристики (рисунок 2.33).

Рисунок 2.33. Импульсная характеристика триангулярного фильтра

При N=3 и минимальном значении отсчёта, равным единице, максимальный отсчёт с

номером 1 равен 2, при N=5 максимальный отсчёт равен

Поскольку импульсная характеристика симметрична относительно её центрального отсчёта, то триангулярный фильтр является фильтром с линейной ФЧХ.

На рисунке показана импульсная характеристика с минимальным значением отсчёта, равным единице. В общем случае все отсчеты этой характеристики могут быть пропорционально уменьшены или увеличены.

Покажем, что треугольная импульсная характеристика триангулярного фильтра h_nможет быть получена как дискретная свёртка двух одинаковых импульсных характеристикh0_nоднородного фильтра

(2.27

Процесс получения отсчётов импульсной характеристики триангулярного фильтра иллюстрирует рисунок 2.32.

На рисунке приведена импульсная характеристика однородного фильтра . Длина импульсной характеристики равнаN0, все отсчёты равны единице.

Из (2.27) видно, что для определения нулевого отсчета дискретной свёртки h₀нужно отсчеты импульсной характеристикиh0_kумножить на совпадающие с ними по времени отсчеты характеристики, приведённой на рисунке 2.34 в позиции «1», и выполнить суммирование полученных произведений. Из рисунка видно, что результатом этих операций является

Для определения первого отсчета дискретной свёртки h₁требуется отсчёты импульсной характеристикиh0_kумножить на совпадающие с ними во времени отсчёты характеристикиh0_1-k, приведённой на рисунке 2.34 в позиции «2», и выполнить суммирование произведений. Из рисунка видно, что в этой позиции перекрываются уже две пары отсчётов, поэтому сумма произведений будет равна

Каждое смещение характеристики на один отсчёт вправо относительноh0_kбудет увеличивать сумму произведений на единицу. Для отсчёта дискретной свёрткисумма произведений будет максимальной и равнойN0. Этот случай представлен позицией «3» на рисунке 2.34.

Дальнейшее смещение h0_n-kотносительноh0_kприводит к уменьшению отсчетов дискретной свёртки. В позиции «4» показано, что отсчёт дискретной свёртки.

В позиции «5» определяется последний отсчёт дискретной свёртки с номером, равный единице.

Временная диаграмма дискретной свёртки h_nимпульсных характеристикиh0_nодинаковых однородных фильтров приведена на рисунке 2.35.

Рисунок 2.34. Дискретная свёртка импульсных характеристик двух одинаковых

однородных фильтров

Рисунок 2.35. Временная диаграмма дискретной свёртки импульсных характеристик

двух одинаковых однородных фильтров

Сравнение рисунков 2.35 и 2.33 показывает, что временная диаграмма дискретной свёртки не отличается от импульсной характеристики триангулярного фильтра, если выполняется условие

Определим системную функцию триангулярного фильтра , воспользовавшись соотношением для дискретной свёртки (2.26) и учитывая, что прямоеZ-преобразование дискретной свёртки равно произведениюZ-преобразований свёртываемых последовательностей,

где

Из последнего соотношения следует связь между комплексными коэффициентами передачи триангулярного и однородного фильтров

(2.28)

Если является нечётным числом, то подставляя (2.21) в последнее соотношение приb_k=1 и длине импульсной характеристики однородного фильтраN0, получим

где

Из последнего соотношения найдём АЧХ и ФЧХбез приведения в интервал отдо

(2.29)

Если является чётным числом, то подставляя (2.23) в последнее соотношение приb_k=1 и длине импульсной характеристики однородного фильтраN0, получим

где .

Из последнего соотношения найдём АЧХ и ФЧХбез приведения в интервал отдо

(2.30)

Выполним расчёт АЧХ и ФЧХ триангулярного фильтра рисунка 2.36

Рисунок 2.36. Триангулярный фильтр при N=5

Определим длину импульсной характеристики однородного фильтра

Поскольку N0=3 является нечётным числом расчет АЧХ и ФЧХ выполним по (2.29)

На рисунке 2.37 приведены АЧХ фильтра, ФЧХрассчитанная по последней формуле, и ФЧХ, приведённая в стандартный интервал

Рисунок 2.37. АЧХ и ФЧХ триангулярного фильтра при длине импульсной

характеристики N=5

Из рисунка видно, что триангулярый фильтр, как и однородный, является фильтром нижних частот.

На рисунке 2.38 приведены АЧХ триангулярного и однородного фильтров с N=5 и с одинаковыми значениями максимального коэффициента передачи за счёт соответствующего выбора масштабных коэффициентов (Mo=1/5,Mt=1/9

Рисунок 2.38. АЧХ триангулярного и однородного фильтров при N=5

Из рисунка видно, что АЧХ триангулярного фильтра имеет меньший уровень пульсаций в полосе задерживания по сравнению с АЧХ однородного фильтра, но большую ширину главного лепестка АЧХ.

2.9.4. Гребенчатый фильтр

На рисунке 2.39 приведена структурная схема гребенчатого фильтра, в состав которого входит линия задержки из N-1 элемента. Коэффициентb может принимать два значенияb=1 илиb= -1.

Рисунок 2.39

На рисунке 2.40 приведены две импульсные характеристики фильтра при b=1 и при

b= -1.

Рисунок 2.40. Импульсные характеристики гребенчатых фильтров

Определим системную функцию фильтра двумя способами:

Способ 1.

Системная функция является прямым Z-преобразованием импульсной характеристики

Способ 2.

Воспользовавшись схемой рисунка 2.39 запишем разностное уравнение

Выразим Z-преобразование выходного сигнала черезZ-преобразование входного сигнала

Определим системную функцию

Комплексный коэффициент передачи фильтра равен

Определим комплексный коэффициент передачи фильтра при b=1

где

Найдём АЧХ и ФЧХ фильтра

На рисунке 2.41 приведены функция и АЧХ, а на рисунке 2.42 – ФЧХи ФЧХприведённая в стандартный интервал отдо. ФЧХполучена в результате двукратного использования соотношения (2.26).

Рисунок 2.41. Функция и АЧХприb=1

Рисунок 2.42. ФЧХ и ФЧХприведённая в стандартный интервал

Определим комплексный коэффициент передачи фильтра при b=-1

где

Найдём АЧХ и ФЧХ фильтра

На рисунке 2.43 приведены функция и АЧХ, а на рисунке 2.44 – ФЧХи ФЧХприведённая в стандартный интервал отдо.

Рисунок 2.43. Функция и АЧХприb= -1

Рисунок 2.44. ФЧХ и ФЧХприведённая в стандартный интервал

Из рисунков видно, что АЧХ фильтра состоит из одинаковых лепестков, количество и ширина которых зависят от длины импульсной характеристики. Диапазон частот, соответствующий ширине лепестка, равен С увеличением длины импульсной характеристикиNширина лепестка уменьшается, а их количество увеличивается, и АЧХ становится похожей на гребёнку, поэтому фильтр называется гребенчатым.

ФЧХ фильтра является линейно-ломаной, однако, в пределах каждого лепестка она линейна как при b=1, так и приb= -1.

2.10. Рекурсивные цифровые фильтры

2.10.1. Цифровой резонатор

Цифровой резонатор (рисунок 2.45) представляет собой звено второго порядка (рисунок 2.21), у которого коэффициенты системной функции B₁иB₂равны нулю, а коэффициентB₀=1.

Рисунок 2.45. Цифровой резонатор

Для определения системной функции резонатора запишем разностное уравнение

Перейдём от разностного уравнения к уравнению для Z-преобразований дискретных сигналов

Из последнего уравнения выразим через

Определим системную функцию фильтра

(2.31)

Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

.

При этом системная функция преобразуется к виду

(2.32)

В цифровом резонаторе полюсы системной функции должны быть комплексно-сопряжёнными.

Следовательно, должно выполняться условие

.

При этом условии полюсы системной функции определяются следующим соотношением

, (2.33)

где .

На рисунке 2.46 показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие

.

Рисунок 2.46. Полюсы системной функции z₁иz₂

При изменении θ от 0 до π частота изменяется от 0 доF_Д/ 2. При этом конец вектораперемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при, т.е. при, где- резонансная частота резонатора.

Подставляя в последнее соотношение θ₀из (2.33), получим

. (2.34)

Из последнего соотношения видно, что резонансная частота прямо пропорциональна частоте дискретизации F_Ди зависит от коэффициентов системной функцииA₁иA₂. ПриA₁=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, приA₁<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а приA₁> 0 – больше четверти частоты дискретизации.

Сначала рассмотрим частный случай настройки резонатора на частоту, равную четверти частоты дискретизации, при и определим комплексный коэффициент передачи, АЧХ и ФЧХ резонатора.

Подставляя в (2.31) , получим

.

Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:

, (2.35)

. (2.36)

Из (2.35) видно, что на резонансной частота при резонансный коэффициент передачи равен

(2.37)

Из этого же соотношения следует, что

Например, при M=1,A₂=0.999 резонансный коэффициент передачи равен 1000, а коэффициенты передачи на границах рабочего интервала примерно равны 0.5.

На рисунке 2.47 приведена АЧХ, рассчитанная по (2.35), а на рисунке 2.48 – ФЧХ, рассчитанная по (2.36) при A₂=0.9,M=1-A₂.

Рисунок 2.47 -АЧХ резонатора Рисунок 2.48 -ФЧХ резонатора

при =0.9,=0, M=1- при=0.9,=0

Из рисунка 2.47 видно, что АЧХ цифрового резонатора по форме похожа на резонансную кривую аналогового колебательного контура. ФЧХ резонатора (рисунок 2.48) не линейна, фазовые сдвиги, вносимые резонатором на частотах 0, и, равны нулю. Фазовый сдвиг на частота ниже частотыположительный, а на частотах вышеотрицательный.Вблизи резонансной частоты ФЧХ цифрового резонатора подобна ФЧХ аналогового колебательного контура, а при больших расстройках существенно отличается.

АЧХ и ФЧХ при A₁=0,A₂=0.99 приведены на рисунках 2.49 и 2.50 соответственно.

Рисунок 2.49 -АЧХ резонатора Рисунок 2.50 -ФЧХ резонатора

при =0.99,=0, M=1- при=0.99,=0

Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А₂показывает, что при стремлении А₂к единице резонанс становится более острым и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.

А теперь выясним, как влияет коэффициент A₁на АЧХ и ФЧХ цифрового резонатора.

Для этого рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А₁<0 и приA₁>0. Соответствующие графики приведены на рисунках 2.51 .. 2.54.

Рисунок 2.51 - АЧХ резонатора Рисунок 2.52 -ФЧХ резонатора

при =0.9,= -0.9, M=1- при=0.9,= -0.9

Рисунок 2.53 - AЧХ резонатора Рисунок 2.54 - ФЧХ резонатора

при =0.9,= 0.9, M=1- при=0.9,=0.9

Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А₁влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.

Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при Для этого в выражение для системной функции (2.32) подставимииз (2.33)

(2.38)

Резонансный коэффициент передачи равен

.

При коэффициент передв последнем выражении равен 0.97, при приближении А₂к единице он стремится к единице. Поэтому при, что, как правило, выполняется в цифровых резонаторах, можно воспользоваться приближённым соотношением

(2.39)

Из (2.39), как частный случай при получается (2.37). Из последнего соотношения видно, что минимум резонансного коэффициента передачи при постоянных значенияхMиA₂имеет место при. По мере отклонения резонансной частоты от этого значения резонансный коэффициент передачи увеличивается.

Соотношение (2.39) позволяет определить масштабный коэффициент M, обеспечивающий требуемое значение резонансного коэффициента передачи.

Определим АЧХ резонатора – зависимость модуля комплексного коэффициента передачи (2.38) от частоты

Как и (2.39) последнее соотношение справедливо при .

Разделив на резонансный коэффициент передачи, получим АЧХ в относительном масштабе по оси ординат

Учитывая, что получим АЧХ в относительном масштабе как функцию нормированной частоты

(2.40)

Важным параметром резонатора является полоса пропускания. Рисунок 2.55 иллюстрирует это понятие..

Рисунок 2.55. К определению полосы пропускания

Под нормированной полосой пропускания П_Nрезонатора понимается разность нормированных граничных частотf_Ng2-f_Ng1 вблизи резонансной частотыf_N0, определённая на заданном уровнеили при заданной допустимой неравномерности в полосе пропускания.

Под неравномерностью в полосе пропускания понимается отношение максимального коэффициента передачи в пределах полосы пропускания к минимальному. В случае резонатора максимальным является резонансный коэффициент передачи, а минимальным коэффициент передачи на границе полосы пропускания при расстройке относительно резонансной частоты f_N0, равной

Таким образом, из (2.40) при получим

При и

В этом случае последнее соотношение существенно упрощается

. (2.41)

Следовательно,

. (2.42)

Пример. Требуется определить коэффициенты A₁,A₂и М цифрового резонатора с нормированной резонансной частотойнормированной полосой пропусканияпри неравномерности, резонансным коэффициентом передачи, равным единице, и рассчитать АЧХ резонатора.

1. Из (2.42) определим параметрd

2. Воспользовавшись соотношением для параметра d(2.41), выразим из негоA₂черезd

.

3. Из (2.34)выразимA₁

.

4. По (2.39) определим масштабный коэффициент

0.049266.

5. Найдём АЧХ по точной формуле для системной функции (2.31), заменив zнаи найдя модуль полученного выражения

.

Рассчитанная по этой формуле АЧХ приведена на рисунке 2.56.

Рисунок 2.56. АЧХ резонатора при A₁=-1.139214,A₂=0.939104,M=0.049266

Из рисунка видно, что резонансный коэффициент передачи, резонансная частота и полоса пропускания резонатора соответствуют требованиям задания.

Определим импульсную характеристику резонатора. В разделе 2.5 показано, что импульсная характеристика линейной дискретной системы является обратным Z- преобразованием системной функции этой системы. Поэтому импульсная характеристика цифрового резонатора определяется соотношением

Обозначим подинтегральную функцию

. (2.43)

Представим дробь в виде суммы дробей

Способ такого представления детально описан в разделе 2.2.

В результате функция выражается следующим соотношением

Импульсная характеристика определяется суммой вычетов функции

(2.44)

На рисунке 2.57 приведена импульсная характеристика резонатора, рассчитанная по полученной формуле при тех же значениях параметров, что и АЧХ рисунка 2.56.

Из рисунка и последнего соотношения видно, что импульсная характеристика резонатора при представляет собой затухающее синусоидальное колебание. Чем ближеA₂к единице, тем медленнее затухает импульсная характеристика. Выше было показано, что при приближенииA₂к единице резонанс становится более острым, полоса пропускания сужается. Это соответствует общему положению о том, что чем более инерционна система, тем уже её полоса пропускания и наоборот.

Рисунок 2.57. Импульсная характеристика резонатора

Из (2.33) следует, что модули первого и второго полюса резонатора одинаковы и равны

Линейная дискретная система устойчива, если модули всех её полюсов меньше единицы. Для резонатора это означает, что для обеспечения устойчивости коэффициент A₂должен быть меньше единицы. ПриA₂>1 резонатор не устойчив. В этом случае, как видно из (2.44), отсчеты импульсной характеристики неограниченно возрастают.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

• импульсная характеристика резонатора бесконечна,

• в устойчивом резонаторе импульсная характеристика является затухающей,

• в неустойчивом резонаторе отсчёты импульсной характеристики неограниченно возрастают.

2.10.2. Расстроенная пара цифровых резонаторов

Рассмотрим цифровой фильтр, состоящий из двух последовательно включённых цифровых резонаторов, отличающихся друг от друга резонансными частотами (рисунок 2.58).

Рисунок 2.58. расстроенная пара цифровых резонаторов

АЧХ резонаторов приведены на рисунке 2.59. Если средняя нормированная частота полосы пропускания фильтра должна быть равна то частоты первого и второго резонаторов резонаторов выбираются на основании соотношений:

(2.45)

Рисунок 2.59. АЧХ первого и второго резонаторов

Чтобы получить одинаковые резонансные коэффициенты передачи первого и второго резонаторов, масштабные коэффициенты должны быть равны:

(2.46)

Коэффициенты системной функции иопределяются следующими соотношениями

(2.47)

Учитывая (2.40), запишем выражения для коэффициентов передачи первого и второго резонаторов

При малых расстройках относительно резонансных частот резонаторов последние соотношения упрощаются:

Найдём коэффициент передачи расстроенной пары с учётом (2.45)

Введём обозначения:

- нормированная абсолютная расстройка текущей частоты относительно центральной частоты полосы пропускания расстроенной пары,

обобщённая расстройка текущей частоты относительно центральной частоты полосы пропускания расстроенной пары,

параметр расстройки резонансных частот цифровых резонаторов.

С учётом введённых обозначений перепишем последнее соотношение

(2.48)

Коэффициент передачи расстроенной пары на центральной частоте полосы пропускания получим, подставляя в (2.48)

(2.49)

Из этого соотношения видно, что увеличение параметра расстройки приводит к уменьшению коэффициента передачи расстроенной пары на центральной частоте полосы пропускания.

На рисунке 2.60 приведены АЧХ расстроенной пары при разных значениях параметра расстройки. Из рисунка видно, что АЧХ может быть как одногорбой, так и двугорбой

Рисунок 2.60. АЧХ расстроенной пары при ₀ = 1 (K₁()),₀ = 1.2 (K₂()),₀ = 1.5 (K₃())

Экстремумы функции совпадают с экстремумами функции под знаком корня в выражении для. Поэтому найдём производную этой функции и приравняем её нулю

Корни этого уравнения:

При существует только один действительный корень уравнения, соответствующий максимуму одногорбой АЧХ, притри действительных корня и двугорбая АЧХ, привсе три корня уравнения равны нулю, АЧХ одногорбая на грани перехода в двугорбую. При этом получается АЧХ с максимально плоской вершиной. Взаимную расстройку резонаторов прив аналоговой технике принято называть критической.

Определим полосу пропускания расстроенной пары при . Для этого найдем неравномерность АЧХ в полосе пропускания, разделивна, где- обобщённая расстройка, соответствующая границе полосы пропускания

Из этого соотношения найдём

Таким образом, полоса пропускания расстроенной пары при критической расстройке определяется соотношением

(2.50)

Пример. Требуется определить коэффициенты A₂,A₁₁,A₁₂,M₁и М₂расстроенной пары цифровых резонаторов с центральной частотой полосы пропусканиянормированной полосой пропусканияпри неравномерности, максимальным коэффициентом передачи, равным единице, и рассчитать АЧХ расстроенной пары.

1.По (2.50) определяем параметр d

2. Находим коэффициент системной функцииA₂

3. Определим величину нормированного отклонения резонансных частот резонаторов от нормированной средней частоты полосы пропускания расстроенной пары

.

4. Определим резонансные частоты цифровых резонаторов (2.45)

5. Определим коэффициенты системной функции A₁₁иA₁₂(2.47)

6. По (2.49) найдём резонансные коэффициенты передачи резонаторов расстроенной пары при требуемом значении коэффициента передачи расстроенной пары на центральной частоте полосы пропускания

7. По (2.46) определим масштабные коэффициенты на входах цифровых резонаторов расстроенной пары

.

8. АЧХ расстроенной пары определяем по точной формуле как произведение модулей комплексных коэффициентов передачи первого и второго резонаторов

График АЧХ при рассчитанных значениях коэффициентов приведён на рисунке 2.61.

Рисунок 2.61. АЧХ расстроенной пары

Из рисунка видно, что максимальный коэффициент передачи, центральная частота полосы пропускания и полоса пропускания соответствуют требованиям задания.

Сравнение АЧХ расстроенной пары с АЧХ одного резонатора, имеющего такой же максимальный коэффициент передачи, такую же полосу пропускания и такую же центральную частоту полосы пропускания (рисунок 2.56), показывает, что у расстроенной пары крутизна скатов АЧХ больше, коэффициент передачи в полосе задерживания (при больших расстройках) меньше и вершина является более плоской, чем у АЧХ резонатора.

2.10.3. Режекторный фильтр на основе звена второго порядка

В разделе 2.8 рассмотрена системная функция и структурная схема типового звена второго порядка, а на рисунке 2.62 приведена схема звена второго порядка в частном случае равенства коэффициентов B₀иB₂единице.

Рисунок 2.62. Режекторный фильтр

Системная функция фильтра определяется соотношением

(2.51)

Комплексный коэффициент передачи фильтра равен

Определим значение нормированной частоты, на которой комплексный коэффициент передачи, а значит и его модуль равны нулю. Для этого приравняем нулю числитель дроби в выражении для комплексного коэффициента передачи

Из последнего соотношения найдём нормированную частоту режекции

Если нормированная частота режекции задана, то коэффициент системной функции

B₁находится по формуле

. (2.52)

Потребуем равенства единице (может быть выбрано и другое значение) значений комплексных коэффициентов передачи на границах интервала Котельникова

Из условия выразимчерези

(2.53)

Подставив A₁в выражение длянайдём масштабный коэффициентM

(2.54)

АЧХ режекторного фильтра рассчитывается по формуле

(2.55)

Входящие в последнее соотношение коэффициенты B₁,A₁иMпредварительно находятся по (2.52), (2.53) и (2.54) соответственно при заданном значении коэффициентаA₂.

На рисунках 2.63 и 2.64 приведены АЧХ трёх режекторных фильтров при двух значениях коэффициента А_2.

Рисунок 2.63. АЧХ трёх режекторных фильтров при A₂=0.5

Рисунок 2.64. АЧХ трёх режекторных фильтров при A₂=0.9

Из рисунков видно, что при перестройке фильтра по диапазону форма АЧХ практически не изменяется, особенно, при значениях A₂, близких к единице. При приближенииA₂ к единице область режекции сужается.

Определим полосу режекции при неравномерности АЧХ в полосе режекции при частоте режекции

В рассматриваемом случае случае и соотношение (2.55) преобразуется к виду

Обозначим и найдём зависимость коэффициента передачи фильтра от отклонения нормированной частоты от нормированной частоты режекции

.

На границе полосы режекции коэффициент передачи фильтра равен

Из последнего соотношения получим

(2.56)

Это соотношение позволяет определить значение коэффициента A₂, при котором обеспечивается требуемая полоса режекции

(2.57)

где .

Пример. Требуется определить коэффициенты A₁,B₁A₂и М цифрового режекторного фильтра с нормированной частотой режекциинормированной полосой режекциипри неравномерности, максимальным коэффициентом передачи, равным единице, и рассчитать АЧХ фильтра.

1. Из (2.57) определим A₂

2. По (2.52) –(2.54) найдём коэффициенты B₁.A₁,M

.

.

3. Построим график АЧХ по (2.55)

Рисунок 2.65. АЧХ режекторного фильтра

Из рисунка видно, что АЧХ фильтра удовлетворяет требованиям задания.

Определим импульсную характеристику режекторного фильтра. Для этого преобразуем выражение для системной функции (2.51)

Введём обозначения:

Тогда на основании свойства линейности Z-преобразования импульсную характеристику фильтра можно представить следующим образом:

(2.58)

где обратныеZ-преобразования длясоответственно.

В (2.1) было показано, что прямое Z-преобразование единичного отсчета равно единице, поэтому последовательностьявляется единичным отсчетом

Для определения сначала преобразуем выражение для

где и- корни квадратного уравнения

Из последнего соотношения видно, что при нормированная частотана других частотах это равенство не выполняется, но чем ближе отношениек единице, тем меньше отличается частотаот частоты режекции

Последовательность h1_n является обратнымZ-преобразованием функции

Подинтегральная функция определяется следующим соотношением

.

Определим

Последовательность h2_n является обратнымZ-преобразованием функции

Подинтегральная функция определяется следующим соотношением

.

Определим

Подставив в (2.58) определим импульсную характеристику режекторного фильтра

На рисунках 2.66-2.68 приведены импульсные характеристики при нормированной частоте режекции 0.15 и трёх значениях коэффициента A₂. Из них видно, что импульсная характеристика режекторного фильтра представляет собой затухающее гармоническое колебание. При увеличении коэффициентаA₂импульсная характеристика затухает медленнее, а амплитуда колебаний именьшается.

Рисунок 2.66. Импульсная характеристика при частоте режекции 0.15 и A₂=0.50

Рисунок 2.67. Импульсная характеристика при частоте режекции 0.15 и A₂=0.90

Рисунок 2.68. Импульсная характеристика при частоте режекции 0.15 и A₂=0.99

2.11. Синтез нерекурсивных цифровых фильтров с линейной ФЧХ и прямоугольной

АЧХ методом ряда Фурье и «окна»

Задачей синтеза фильтра является определение коэффициентов его системной функции при заданных требованиях к АЧХ. В случае фильтра с линейной ФЧХ и АЧХ, определяемой рядом косинусов ((2.22), (2.24)), этими коэффициентами являются коэффициенты .

Из (2.22) и (2.24) видно, что функция , определяющая АЧХ фильтра, является периодической функцией с периодом 2π.

Пусть требуется выполнить синтез ФНЧ, у которого функция A(θ) стремится к функцииD(θ), показанной на рисунке 2.29 в интервале измененияθот –πдоπ, т.е. в пределах одного периода.

Рисунок 2.69 – Идеальная АЧХ ФНЧ

Разложение функции D(θ) в ряд Фурье позволяет определить коэффициенты

, (2.59)

где k= 1,2 ..k₀,k₀ =.

В качестве примера приведем рассчитанные по формулам (2.59) и (2.22) функцию и АЧХ К(θ) при θ_g = π / 2,k₀ =3.

Рисунок 2.70 – Функция и АЧХ К(θ) при θ_g = π / 2,k₀=3

Вместе с графиком реальной АЧХ K(θ) показана идеальная прямоугольная АЧХD(θ). Приk₀=3 эти характеристики сильно отличаются друг от друга. Особенностью АЧХ являются пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

На рисунках 2.71 и 2.72 приведены АЧХ фильтров при k₀ =10 иk₀=20 соответственно.

Рисунок 2.71 – АЧХ фильтра Рисунок 2.72 – АЧХ фильтра

при θ_g = π / 2, k₀ = 10 при θ_g = π / 2, k₀ = 20

На этих рисунках используется логарифмический масштаб по оси ординат для того, чтобы АЧХ была более наглядной в полосе задерживания.

Из рисунков видно, что увеличение длины импульсной характеристики (уменьшение количества отбрасываемых членов разложения Фурье), делая АЧХ более прямоугольной, не устраняет пульсации АЧХ. С увеличением m₀частота пульсаций увеличивается, однако максимальный уровень первого бокового лепестка в полосе задерживания остается практически неизменным и равным 0.1.

Пульсации АЧХ вблизи точек разрыва функции, связанные с ограничением членов разложения в ряд Фурье, получили название явления Гиббса.

Для уменьшения пульсаций рядом специалистов по цифровой обработке сигналов было предложено использование так называемых «оконных функций».

Сущность метода состоит в следующем: вместо коэффициентов системной функции b_kиспользуют коэффициенты

(2.60)

где W_k -k-ый отсчет оконной функции.

Простому ограничению ряда Фурье соответствует прямоугольное окно

Несколько других функций приведено в таблице 2.1.

На рисунках 2.73 и 2.74 показаны АЧХ рисунков 2.71 и 2.72 соответственно после операции сглаживания с использованием окна Хемминга. Из сопоставления АЧХ до сглаживания и после него видно, что эта операция приводит к существенному (примерно на 40 дБ) ослаблению пульсаций, но и к расширению переходной полосы между полосой пропускания и полосой задерживания фильтра.

Таблица 2.1. Функции окна

Название окна	Функция окна
Окно фон Ганна (приподнятый косинус)
Окно Хемминга
Окно Блэкмана
Окно Ланцоша	, где L=1 илиL=2

Рисунок 2.73. АЧХ при θ_g = π / 2, Рисунок 2.74. АЧХ фильтра при θ_g = π / 2,k₀=10 и сглаживанием пульсацийk₀=20 и сглаживанием пульсаций

функцией Хемминга функцией Хемминга

Описанный метод синтеза рассмотрен на примере фильтра нижних частот. Однако его нетрудно распространить на фильтры других типов.

Например, АЧХ полосового фильтра с граничными значениями полосы θ₁иθ₂можно представить в виде разности АЧХ ФНЧ, как это показано на рисунке 2.75.

Рисунок 2.75 – Представление АЧХ полосового фильтра в виде разности АЧХ ФНЧ

D(θ)=D₂(θ) –D₁(θ)

Такое представление АЧХ позволяет определить коэффициенты разложения в ряд Фурье b_mкак разность соответствующих коэффициентов разложений в ряд Фурье АЧХ ФНЧ

(2.61)

Аналогичным образом находятся коэффициенты разложения для режекторного фильтра (РФ) и фильтра верхних частот (ФВЧ)

В таблице 2.2 приведены значения коэффициентов разложения АЧХ для всех типов фильтров. Оконные функции используютcя при синтезе всех типов фильтров одинаково.

Таблица 2.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье функции ,

определяющей АЧХ фильтра

Тип фильтра	Коэффициенты b0n
ФНЧ
ФВЧ
ПФ
РФ

Пример. Выполнить синтез полосового фильтра с линейной ФЧХ методом ряда Фурье и «окна» Блэкмана. Длина импульсной характеристики фильтра N=101, средняя нормированная частота полосы пропускания f_N0 =0.25, нормированная полоса пропускания . Построить график АЧХ фильтра.

1. По (2.61) и (2.60) рассчитываем коэффициенты системной функции

Ниже приводится фрагмент расчёта в программной среде Mathcad

2. По (2.22) рассчитываем АЧХ при отсутствии и при наличии «окна»

На рисунке 2.76 представлены две АЧХ, рассчитанные при наличии K(f_N) и при отсутствииK0(f_N) «окна» с использованием логарифмического масштаба по оси ординат. Логарифмический масштаб позволяет детально рассмотреть АЧХ в полосе задерживания, но при этом не видны детали АЧХ в полосе пропускания. Для их наблюдения на рисунке 2.77 приведён фрагмент АЧХ рисунка 2.76 в линейном масштабе.

Из рисунков видно, что применение оконной функции позволяет более чем на два порядка уменьшить максимальный уровень пульсаций в полосе задерживания, но при этом уменьшается крутизна спада АЧХ

Расчётная нормированная полоса пропускания обеспечивается на уровне 0.5 и при наличии, и при отсутствии окна, т.е. наблюдается значительная неравномерность АЧХ в пределах полосы пропускания.

Рисунок 2.76. АЧХ, рассчитанные методом разложения в ряд Фурье при наличии и отсутствии окна Блэкмана и при N=101 (логарифмический масштаб)

Рисунок 2.77. Фрагмент АЧХ рисунка 2.76 в линейном масштабе

На рисунках 2.78 и 2.79 приведены импульсные характеристики фильтра при наличии и отсутствии оконной функции.

Рисунок 2.78. Импульсная характеристика фильтра без оконной функции

Рисунок 2.79. Импульсная характеристика фильтра с использованием окна Блэкмана

Из рисунков видно, что вблизи центрального отсчёта импульсные характеристики практически не отличаются друг от друга, однако по мере удаления от центрального отсчёта отличие характеристик становится более заметным из-за уменьшения абсолютных значений отсчётов из-за влияния оконной функции.

2.12. Синтез нерекурсивных цифровых фильтров с линейной ФЧХ и АЧХ,

описываемой функцией без разрывов, методом ряда Фурье

Из рисунков 2.71 и 2.72 видно, что максимум пульсаций Гиббса имеет место вблизи точки разрыва функции, задающей требуемую АЧХ фильтра. Поэтому для уменьшения пульсаций целесообразно использовать функции без разрывов.

Одной из таких функций является широко используемая функция Гаусса. АЧХ ФНЧ, задаваемая этой функцией, представляется следующим соотношением

(2.62)

где - неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра – отношение максимального коэффициента передачи к минимальному коэффициенту передачи в пределах полосы пропускания,- граничная частота полосы пропускания фильтра.

Отсчёты импульсной характеристики фильтра определяются соотношениями для коэффициентов Фурье

(2.63)

где - длина импульсной характеристики (нечётное число).

Приведенные интегралы легко определяются в программной среде Mathсad.

Фактическая АЧХ находится по формуле

(2.64)

На рисунке 2.80 приведены требуемая и реальная АЧХ гауссовского ФНЧ при

Рисунок 2.80. Требуемая и реальная АЧХ гауссовского ФНЧ

при

Под ослаблением в полосе задерживания или селективностью фильтра Seпонимается отношение максимального коэффициента передачи в полосе пропускания к максимальному коэффициенту передачи в полосе задерживания

Из рисунка видно, что максимальный коэффициент передачи в полосе задерживания (максимальный уровень пульсаций в полосе задерживания) равен , а максимальный коэффициент передачи в полосе пропускания равен единице, поэтомуSe= 1000. Для обеспечения такой селективности потребовалась импульсная характеристика длинойN=19.

В разделе 2.9.1 показано, что импульсная характеристика фильтра с линейной ФЧХ симметрична относительно центрального отсчёта b₀, по обе стороны относительно центрального отсчёта располагаются отсчётыb₁,b₂, . ., нумерация которых ведётся от центра.

Для перехода к импульсной характеристике с последовательной нумерацией отсчётов от 0 до нужно воспользоваться следующим соотношением:

Импульсная характеристика гауссовского ФНЧ при приведена на рисунке 2.81

Рисунок 2.81. Импульсная характеристика гауссовского ФНЧ

при

При проектировании фильтра наряду с параметрами задаётся селективностьSe. При требуемой АЧХ длина импульсной характеристикиNвыбирается так, чтобы обеспечить заданную селективность.

В ПРИЛОЖЕНИИ А приведена программа синтеза гауссовского ФНЧ в программной среде Mathcad. Программа требует задания ориентировочного значения длины импульсной характеристики, которое затем уточняется.

В таблице 2.3 приведены значения длины импульсной характеристики ФНЧ при заданных значениях которые можно использовать при работе с программой.

Из таблицы видно, что уменьшение граничной частоты и увеличение требуемой селективности требует увеличения длины импульсной характеристики фильтра.

Таблица 2.3. Зависимость длины импульсной характеристики ФНЧ

от требуемой селективности и граничной частоты при

Нормированная граничная частота fNg	Длина импульсной характеристики N
	Se=100	Se=1000
0.025	29	33
0.050	15	19
0.075	11	13
0.100	9	9

АЧХ полосового фильтра, задаваемая функцией Гаусса, определяется следующим соотношением

(2.65)

где - средняя нормированная частота полосы пропускания,- нормированная полоса пропускания,- неравномерность АЧХ в полосе пропускания.

Расчёт импульсной характеристики и АЧХ выполняется по (2.63) и (2.64).

На рисунке 2.82 приведены требуемая и реальная АЧХ гауссовского полосового фильтра при , а на рисунке 2.83 его импульсная характеристика

Рисунок 2.82. АЧХ гауссовского полосового фильтра при

Рисунок 2.83. Импульсная характеристика гауссовского полосового фильтра

при

В таблице 2.4 приведены значения длины линии задержки при разных значениях полосы пропускания и селективности, на которые можно ориентироваться при синтезе фильтра по программе, приведённой в ПРИЛОЖЕНИИ Б.

Сравнение таблиц 2.3 и 2.4 показывает, что при одинаковых требованиях к селективности и одинаковых значениях полосы пропускания длина импульсной характеристики полосового фильтра примерно в два раза больше длины импульсной характеристики ФНЧ.

Таблица 2.4. Зависимость длины импульсной характеристики ПФ от

требуемой селективности и граничной частоты при f_N0 = 0.25 и

Нормированная полоса ПN	Длина импульсной характеристики N
	Se=100	Se=1000
0.025	55	69
0.050	29	35
0.075	21	25
0.100	17	17

Важным параметром любого фильтра является коэффициент прямоугольности, под которым понимают отношение полосы пропускания фильтра при заданной селективности к полосе пропускания при заданной неравномерности

.

Входящая в (2.65) разность представляет собой расстройку текущей частоты относительно средней частоты полосы пропускания фильтра. При коэффициенте передачиудвоенная расстройка является полосой пропускания при заданной селективности

.

Из последнего соотношения получим

Из (2.62) видно, что это соотношение справедливо и для ФНЧ.

Таким образом, коэффициент прямоугольности гауссовского фильтра определяется значениями требуемой селективности и неравномерности коэффициента передачи в полосе пропускания. С увеличением селективности коэффициент прямоугольности, к сожалению, тоже увеличивается.

Этот недостаток устраняет модификация показателя экспоненты функции Гаусса. Так, для описания требуемой АЧХ ФНЧ вместо (2.65) можно использовать функцию

(2.66)

Константы зависят от нормированной граничной частотынеравномерности АЧХ в полосе пропускания, требуемой селективностиSeи коэффициента прямоугольности

(2.67)

На рисунке 2.84 приведены требуемая и реальная АЧХ ФНЧ, синтезированного с использованием модифицированной функции Гаусса при , а на рисунке 2.85– его импульсная характеристика.

Сравнение этих характеристик с соответствующими характеристиками гауссовского ФНЧ показывает, что уменьшение коэффициента прямоугольности от значения в гауссовском ФНЧ до значенияв ФНЧ с модифицированной АЧХ приводит к увеличению длины импульсной характеристики от 33 до 129 и соответствующему увеличению длины линии задержки фильтра.

Программа синтеза ФНЧ с модифицированной АЧХ Гаусса отличается от программы, приведённой в ПРИЛОЖЕНИИ А только видом функции D(f_N) ((2.67) и (2.66)) и введением в исходные данные значения коэффициента прямоугольности.

Рисунок 2.84. Требуемая D(f_N) реальнаяK(f_N) АЧХ ФНЧ при

Рисунок 2.85. Импульсная характеристика ФНЧ при

При синтезе полосового фильтра с заданным значением коэффициента прямоугольности вместо (2.65) используется функция

(2.68)

Коэффициенты определяются следующими соотношениями

(2.69)

На рисунке 2.86 приведены требуемая и реальная АЧХ полосового фильтра, синтезированного с использованием модифицированной функции Гаусса при , а на рисунке 2.87 – его импульсная характеристика.

Сравнение рисунков 2.86 и 2.87 с рисунками 2.82 и 2.83 соответственно показывает, что, как и в случае ФНЧ, уменьшение коэффициента прямоугольности требует увеличение длины линии задержки.

Программа синтеза полосового фильтра с модифицированной гауссовской АЧХ отличается от программы ПРИЛОЖЕНИЯ Б только тем, что функция (2.65) заменяется соотношениями (2.69) и (2.68), а в исходные данные вводится ещё значение коэффициента прямоугольности k_p.

Рисунок 2.86. Требуемая и реальная АЧХ полосового фильтра при

Рисунок 2.87. Импульсная характеристика полосового фильтра при

2.13. Синтез КИХ - фильтров с линейной ФЧХ методом наименьших квадратов

На рисунке приведена функция D(θ) - идеальная АЧХ полосового фильтра в полосе пропускания и полосе задерживания и функцияA(θ), определяющая реальную АЧХ.K()

Рисунок 2.88 - Функция A(θ) и функцияD(θ), описывающая идеальную АЧХ