Обозначим

где

.

Учтем, что,

Поэтому

Последнее соотношение описывает типовую операцию алгоритма БПФ с прореживанием во времени. Эта операция называется операцией «бабочка»

Графическое представление вычислительных операций приведено на рисунке.

Стрелочками представлены множители

Отсчеты S₀ , S₁ , S₂, S₃ получаются с использованием операции сложения, поэтому около них стоит знак “ + “, отсчеты S₄ , S₅ , S₆ , S₇ находятся после выполнения операции вычитания и около них поставлен знак “ - “.

Определим операции над двухточечными последовательностями

При N=2

Совмещая рассмотренные выше бабочки получим графическое представление алгоритма БПФ с прореживанием во времени

Подсчитаем количество операций умножения, которые нужно выполнить, используя алгоритм БПФ. Для этого составим таблицу 4.1.

Таблица 4.1

Номер шага разбиения	Количество умножений на постоянный коэффициент	Количество блоков ДПФ, подлежащих дальнейшему разбиению	Вид последовательности на входах оставшихся блоков
1	N / 2	2	N / 2
2	2 ( N / 4 ) = N / 2	4	N / 4
3	4 ( N / 8 ) = N / 2	8	N / 8
. . .	. . .	. . .	. . .
M -1	N / 2	2 M -1	N / 2 M -1 = 2
M	N / 2	-	-

Из таблицы видно, что на каждом шаге разбиения выполняется N / 2 умножений, а количество шагов равно M = log ₂ N. Следовательно, количество умножений равно

(N / 2) log₂ N вместо N² при ДПФ. Величина выигрыша при переходе от ДПФ к БПФ увеличивается с увеличением количества отсчетов N.

4.4. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по

частоте

Вместо изложенной процедуры разбиения множества объектов на объекты с четны-

ми и нечетными номерами можно рассмотреть процедуру разбиения исходного множества на две половины: правую и левую. Последняя процедура и нашла применение в алгоритме БПФ, основанном на прореживании по частоте.

Пусть имеется исходная N - точечная последовательность x_n , где N = 2^M (рисунок 6.4). Разобьем члены этой последовательности на две группы. В первую включим первую половину членов исходной последовательности, а во вторую группу - вторую половину. Из первой группы образуем последовательность x1_m , а из второй - последовательность x2_m.

Рисунок 4.4 - Разбиение последовательности отсчетов x на две последовательности

x1 и x2, содержащие первую и вторую половину членов исходной

последовательности соответственно

Индексы последовательностей x_n и x1_m связаны соотношением n = m, а индексы по-

следовательностей x_n и x2_m - соотношением n = N/ 2 + m.

Тогда выражение для прямого ДПФ (6.3) можно представить в виде

.