Glava_9

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт экономики, управления и природопользования СФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решим систему методом Гаусса:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

337.2 Кб

Скачать

☆

9. ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА. ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦ.

Определение 9.1. Матрица

(неотрицательной), если aij

aij

A 0

a
ij
.

называется положительной

В первом случае пишут

, во втором

Определение		9.2. Вектор		x	называется		положительным
(неотрицательным), если его координаты					xi 0	xi 0 .
Пусть	A неотрицательная квадратная матрица и						A максимальное
по модулю собственное значение,			xA неотрицательный собственный вектор
соответствующий A .
Теорема 9.1. (Фробениуса				Перрона).		Положительная		матрица	A
всегда имеет положительный характеристический корень A .
Все	остальные	корни по		модулю		меньше	A .	Существует

положительный собственный вектор, соответствующий A .

Определение 9.3. Максимальное по модулю собственное значение

неотрицательной матрицы

называется числом Фробениуса матрицы

A , а

соответствующий ему неотрицательный собственный вектор

вектором

Фробениуса.

Пример 9.1. Найти число Фробениуса и вектор Фробениуса

положительной матрицы

	4
A
	2
	2

2
4
4

	Решение. Найдем число Фробениуса.
	Характеристическое							уравнение	матрицы			A E		0 ,	т. е.,
	Характеристическое							уравнение	матрицы			A E		0 ,	т. е.,
4	2		4		2	4		4 2 4 2 0 ,			1	2 ,	2 6 .		Значит,
					2
2	4
A 6 .													A AE xA 0 .
	Найдем вектор Фробениуса из однородной системы:												A AE xA 0 .
	2		2	2			2
A 6E		2	2			0	0	, r 1. x1	базисная		неизвестная, свободная
		2	2			0	0
неизвестная x2 c . Тогда x1								c . xA c,c c 1;1 , c 0.
									a	a	...	a
									11	12		1n			n
	Пусть дана квадратная матрица A a21									a22	...	a2n			n
	Пусть дана квадратная матрица A a21									a22	...	a2n	. Пусть ri		aij
									... ...		...	...			j 1
										an2	...
									an1	an2	...	ann

,si aij . i 1n

Пусть также,	r min ri	, R max ri , s min si , S max si .
Теорема 9.2.	Число	Фробениуса A неотрицательной матрицы А

удовлетворяет следующим неравенствам:

	r A R ,
	s A S .
Если матрица A 0, то неравенства строгие:
r A R , s A S	, кроме случая, когда	r R и s S .
Следствие 9.1. Если	s1 s2 ... sn или r1	r2 ... rn неотрицательной
матрицы A равны одному и тому же числу , т.е. r R или			s S , то

число Фробениуса A равно этому числу.

Пример 9.2. Найти число Фробениуса матриц:

	1	2	3	0		3	2	5
	0	1	3	2
A					и B	1 4		3	.

3		0	0	3

						5	3	1
	1	5	0	0

Решение. Т. к., для матрицы							A	r1	r2 r3 r4
Для матрицы B s1					s2 s3 9,			то	B 9 .

9.1. Найти число и вектор Фробениуса матрицы А:

	2	0		3	2		4	1	1		1

а)			б)
	4	3		1	2	в)	2	4	1	г)	0
							0	1	4		1

9.2. Найти число Фробениуса матриц:

1 1 0

, то

	0
	1		.
	1		.

	1
	1

	A

а)

		2
		2
		2

		6
		6

	3	5
	4	4
	4	4

	2	2
	2	2

	1	6	5
	3	4	5
б)
	7	1	1

в)

1	0	2	3
0	1	4	1
0	1	4	1

3	3	0	0
0	0	6	0
0	0	6	0

г)

0,1	0	0, 2
0, 2	0,3	0, 2
0, 2	0,3	0, 2

0,3	0, 2	0
0,1	0, 2	0,3
0,1	0, 2	0,3

	0,1
	0
	0

	0,3
	0,3
	0,3


Определение 9.4.	Вектор X	называется вектором валового выпуска,
вектор Y вектором	конечного	потребления, а		матрица	A	матрицей
прямых затрат, а соотношение			X AX Y	называется		уравнением
линейного межотраслевого баланса или моделью Леонтьева.
Определение 9.5. Матрица		A 0 называется продуктивной, если для
любого вектора Y 0 существует решение X 0 уравнения					X AX Y .
Теорема 9.3. (первый критерий продуктивности).
Матрица A 0 продуктивна			тогда и только тогда,		когда матрица

E A 1 существует и неотрицательна.

Пример 9.3. Исследовать на продуктивность матрицу

				0,7	0,8
Решение.			E A	0, 4	0,5	,	тогда
				0, 4	0,5
T	0,1	0,8
(E A)	0, 4	0,5	.
	0, 4	0,5

	0,3
A
	0,4
	0,4
	E

0,8
0,5	.

A 0,03

				1	8	10
	1	100		10	10	3
(E A)	1	100		10	10	3
(E A)		3		4	5	40
		3		4	5	40
					10	3
			10		10	3

критерию.

	80
	3
	3	0
	50	0
	50
	3
	3

A продуктивна по первому

Теорема 9.4. (второй критерий продуктивности)

Неотрицательная квадратная матрица A продуктивна тогда и тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.

только

		0,5	0,5
Пример 9.3. Продуктивна ли матрица	A	0,6	0,3	?
		0,6	0,3

Решение. Найдем	s1 1,1;s2 0,8;r1		1;r2 0,9 .	Тогда	0,8 A 1,1 и
0,9 A 1. Решая неравенства,		получим	0,9 A 1. По второму критерию
матрица A продуктивна.
Определение 9.6.	Пусть	A 0	продуктивная матрица.			Запасом
продуктивности матрицы A называется такое число				0 , что все матрицы
A , где 1 1 , продуктивны, а матрица (1 ) A				не продуктивна.
					0,2	0,6
Пример 9.4. Найти запас продуктивности матрицы A					0,9	0,3	.

Решение.	Воспользуемся		первым		критерием

1 0, 2		0,6
E A
	0,9
		1 0,3

E A 0,48	2	0,5 1 0,
	2

отсюда

1 0,3

0,6

1,015 . Тогда E A

1 2,06; 2

. Надо, чтобы все

0,9

1 0,2

элементы

этой

матрицы

были

неотрицательны.

Тогда

0;1 0,2 0;1 0,3 0 . Иначе,

2,06

1,015;

10 3

. Решая

неравенства, получаем 1,015. При 2 матрица продуктивна; при2 нет. Найдем запас продуктивности 1 1,015; 0,015 . Матрица A малопродуктивна.

Обычно матрицы межотраслевого баланса обладают большим запасом продуктивности.

Определение 9.7. Обратная матрица Леонтьева

B E A	1

называется матрицей полных материальных затрат, а ее элементы	bij
коэффициентами полных затрат.

Коэффициенты

bij

aij

. Равенство теоретически возможно лишь когда

продукция i -ой отрасли не используется ни в одной из отраслей, т.е.

aij

0 .

Определение 9.8. Числа	cij bij	aij	называются коэффициентами
косвенных затрат, а матрица C (cij )		матрицей косвенных затрат.

Косвенные затраты это затраты продукции каждой отрасли, которые обеспечивают процесс производства в данной системе отраслей.

Пример 9.5. Для	трех отраслевой экономической системы задана
матрица коэффициентов	прямых затрат A и вектор конечного потребления Y

	0	0,1
A	0,1	0
A	0,1	0

	0	0, 2
	0	0, 2

	0
	0, 2
	0, 2

	0,1
	0,1

160,152,95 T

1.	Составить систему уравнений межотраслевого баланса.
2.	Найти решение системы валовой выпуск продукции.

Решение. Уравнение межотраслевого баланса в матричном виде:

						x				0	0,1
							1
			T	, т. е.,			x2			0,1	0
X AX Y , где X (x1, x2 , x3 )				, т. е.,			x2			0,1	0
							x			0	0, 2
							x			0	0, 2
							3
	Тогда	система	уравнений		межотраслевого
x 0,1x		160		x 0,1x					160
1	2			1	x2			2
x2	0,1x1 0, 2x2 152		или 0,1x1		x2		0, 2x3 152 .
x	0, 2x 0,1x 95			0, 2x		0,9x				95
3	2	3			2				3

0	x
		1
0, 2		x

		2
0,1		x

		3

баланса

152

95

160

имеет

вид:

1		0,1
	0	9,9


	0	0,2

	0	160
	2 1680
	2 1680

	0,9	95
	0,9	95

	0
		0
		0

		0
		0

0,1 9,9 0

	0	160
	2	1680
	2	1680

	8,511276,5
	8,511276,5

Обратным ходом

метода Гаусса находим

x3 150, x2 200, x1

Решение показывает, что валовой составить 180 ед., второй отрасли − 200 ед.,

180

. Итак,

X (180,200,150)T .

выпуск первой отрасли должен третьей − 150 ед.

Пример 9.6. В условиях предыдущего примера 10.7 найти вектор

конечного потребления Y , зная вектор	X валового выпуска продукции.
Решение. Вектор конечного	потребления	Y (E A)X . Итак,

	y			0	0,1
		1
Y		y		0,1	0
			2

		y		0	0, 2

			3

	0		180
	0, 2		200
	0, 2		200

	0,1		150
	0,1		150

	160
		152
		152

		95
		95

Пример 9.7. Найти матрицу полных затрат, если дана матрица прямых

		0,1	0
затрат	A	0, 2	0,3
		0, 2	0,3

Решение.			Матрица
B (E A)	1	.	Найдем	E

полных затрат вычисляется

A	1	0	0,1	0	0,9
A	0	1	0, 2	0,3	0, 2
	0	1	0, 2	0,3	0, 2

по

0
0,7
0,7

формуле

. Найдем

E A 0,63 0 ,			следовательно			матрица		обратима.
										10
	0,7		0		1	1	0,7	0		9
T	0,7		0	. (E A)	1	1	0,7	0		9
(E A)	0,2	0,9		. (E A)		0,63	0,2	0,9		20
	0,2	0,9				0,63	0,2	0,9		20

									63

	0,7
(E A)
		0
		0
0
0
	B
10	B
10
7
7

0, 2
0,9
0,9

Пример 9.8. В условиях предыдущего примера 10.9 найти матрицу косвенных затрат.

Решение. Матрица косвенных затрат вычисляется по формуле:

C B

. Итак,

	10	0						91
	9		0,1	0	1,01	0		90

C
	20	10	0,2	0,3	0,02	1,13		37

		7
63							315

79 70

    

9.3. Продуктивна ли матрица:

	0,1	0,3		0,3	0, 4
а)	0, 2	0,5	б)	0, 2	0,3
	0, 2	0,5		0, 2	0,3

	0	0, 2	0,5	0,1
	0,1	0,1	0,3	0, 4
д)					.

	0,8	0,1	0	0,1

	0	0,5	0,1	0,3

9.4. При каких матрица:

в)

0,1

0,7

0, 2

	0,8	0,1
	0,1	0,1
	0,1	0,1

	0	0,8
	0	0,8

0, 2		0,5	0,3
	0, 4	0, 2	0, 4
г)
	0, 4	0,3	0,3

а)

б)

	7	0
А	5	4
А	5	4

	3	1
	3	1

будет продуктивной?

9.5. Найти запас продуктивности матрицы:

	0,1	0, 2		0,3		0, 4
а)	0,1	0,5	б)	0,3		0, 2	.
	0,1	0,5		0,3		0, 2
					0	0, 2		0,1		55
					0,1		0	0,3		43	. Найти решение
9.6. Дана матрица А					0,1		0	0,3	и вектор Y	43	. Найти решение
					0, 2		0	0,1
					0, 2		0	0,1	111

системы X АX Y .

9.7. Дана матрица

	0,1	0
А	0,3	0,1
А	0,3	0,1

	0	0, 2
	0	0, 2

	0, 2
	0
	0

	0,3
	0,3

и вектор

		100
		200
		200

		300
		300

. Найти вектор Y.

9.8. Найти матрицу полных затрат В, если дана матрица прямых затрат

0, 2

А0

0, 2
0,3
0,3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.05.2019129.54 Кб63-4 занятие. Духовная сфера общества.doc
#
04.05.2019132.61 Кб15-6-7 занятие. Человек. Деятельность. Социализа...doc
#
19.11.20191.18 Mб1dokumenty.docx
#
27.09.2019118.7 Кб13FILOSOFIYa.docx
#
29.03.2016435.5 Кб5Glava_5.pdf
#
29.03.2016337.2 Кб36Glava_9.pdf
#
17.04.2019170.5 Кб0Gosudarstvennoe_upravlenie-Dnevnoe.doc
#
29.03.20161.75 Mб88i-917692.pdf
#
15.04.201998.3 Кб3IAS 36.doc
#
15.04.2019107.52 Кб3IAS 38.doc
#
29.03.20162.37 Mб16Majburd_E.M.-1996.pdf