- •Лекции по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн»
- •Лекция 1. Вводная информация, основные понятия, история. Положения векторной алгебры
- •Название курса, преподаватель
- •Объем курса количество лекций, расписание, итоговая проверка
- •Рекомендуемая литература
- •Назначение курса. Рассматриваемые сущности
- •История
- •Рассматриваемые вопросы
- •Скаляры и векторы. Изображение векторов. Примеры скалярных и векторных величин
- •Операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение
- •Скалярные и векторные поля. Изображение полей. Примеры скалярных и векторных полей
- •Лекция 2. Используемые понятия и законы векторного анализа. Заряды и токи. Векторы электромагнитного поля.
- •Циркуляция вектора и поток вектора через поверхность
- •Потенциальное и вихревое поле
- •Градиент, оператор Гамильтона
- •Дивергенция, физический смысл дивергенции
- •Ротор, физический смысл ротора
- •Теорема Стокса
- •Теорема Остроградского-Гаусса
- •Заряды, плотность заряда. Закон сохранения заряда
- •Ток, плотность тока
- •Векторы электромагнитного поля
- •Вектор е напряженности электрического поля.
- •Вектор магнитной индукции b
- •Векторы н и Dэлектромагнитного поля
- •Сводка векторов и их единиц измерения
- •Лекция 3. Основные законы электромагнетизма. Параметры сред. Уравнения Максвелла. В дифференциальной и интегральной форме
- •Закон Гаусса
- •Закон электромагнитной индукции (Фарадея)
- •Закон полного тока (Ампера)
- •Параметры сред, классификация сред
- •Уравнения Максвелла
- •Первое уравнение Максвелла. Ток смещения
- •Второе уравнение Максвелла
- •Третье уравнение Максвелла
- •Четвертое уравнение Максвелла
- •Лекция 4. Обсуждение уравнение Максвелла и следствий из них. Сторонние силы Метод комплексных амплитуд, применение к уравнениям Максвелла. Энергетические соотношения
- •Обсуждение уравнений Максвелла
- •Сторонние токи и заряды
- •Частные случаи электромагнитных процессов
- •Метод комплексных амплитуд
- •Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемость
- •Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Теорема Пойнтинга
- •Теорема Пойнтинга для комплексных амплитуд
- •Лекция 5.
- •Уравнения Гельмгольца. Волновой характер электромагнитного поля
- •Волновые процессы
- •Плоские волны
- •Сферические волны
- •Цилиндрические волны
- •Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией
- •Фазовая скорость и постоянная затухания плоских волн
- •Плоские волны в хорошо проводящих средах
- •Лекция 6
- •Групповая скорость. Дисперсия
- •Групповая скорость
- •Поляризация электромагнитных волн
- •Линейная поляризация
- •Суперпозиция двух линейно поляризованных волн
- •Граничные условия для векторов электромагнитного поля
- •Граничные условия для нормальных составляющих магнитного поля
- •Граничные условия для нормальных составляющих электрического поля
- •Граничные условия для тангенциальных составляющих магнитного поля
- •Граничные условия для тангенциальных составляющих электрического поля
- •Сводка граничных условий
- •Лекция 7
- •Падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред
- •Плоские волны, распространяющиеся в произвольном направлении
- •Нормальное падение электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость
- •Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство
- •Падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство под произвольным углом
- •Лекция 8
- •Наклонное падение на границу раздела двух сред при перпендикулярной (горизонтальной) поляризации
- •Наклонное падение на границу раздела двух сред при параллельной (вертикальной) поляризации
- •Полное прохождение. Угол Брюстера
- •Полное отражение
- •Направляющие системы
Теорема Остроградского-Гаусса
Выведем выражение, дающее связь между потоком вектора через некоторую замкнутую поверхность, имеющую конечные размеры, и дивергенцией этого вектора внутри объема, ограниченного данной поверхность. Для вывода разделим объем на части, соприкасающиеся между собой. Для каждой части объема, исходя из приближенного равенства, вытекающего из определения дивергенции, можно записать связь между потоком вектора через поверхность этого частичного объема и дивергенцией вектора внутри объема. Так как, то
,
где − номер частичного объема,− малая величина, которая стремится к нулю вместе с. Определение дивергенции дается для бесконечно малого объема, а записанное равенство – для малого, но конечного объема, в связи с чем это равенство отличается от определения дивергенции тем, что введена величина, исчезающая при переходе к пределу, когда объем стремится к нулю. Значениездесь взято в некоторой точке внутри частичного объема номера.
Так же, как и при выводе теоремы Стокса, просуммируем выражения такого вида, записанные для всех частичных объемов, на которые разбит конечный объем :
.
Сумма потоков вектора через поверхности всех частичных объемов, на которые был разбит общий объем, представляет собой поток вектора через поверхность всего объема (общего), так как птоки по граничным поверхностям, отделяющим друг от друга частичные объемы, направлены в противоположные стороны и взаимно сокращаются. То есть, положительное направление потока в сторону внешней нормали к поверхности оказывается взаимно противоположным для двух соседних объемов, разделенных поверхностью:
.
Данное равенство сохраняет силу при любом числе частичных объемов.
Заменив сумму потоков на поверхностный интеграл, устремим число частичных объемов к бесконечности, при этом величины самих объемов будут стремиться к нулю. Тогда в пределе сумма в левой части (?) перейдет в интеграл, а последняя сумма в правой части – исчезнет. В результате получится математическая формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:
.
Интеграл по объему от дивергенции вектора равен потоку этого вектора через поверхность, окружающую объем.
На этом мы заканчиваем рассмотрение положений векторного анализа и переходим собственно к теории электромагнитного поля.
Заряды, плотность заряда. Закон сохранения заряда
Понятие электрического заряда будем считать не подлежащим определению. В курсе общей физики дается представление о фактах, на основе которых формируется понятие заряда. Заряд как физическая величина обозначается символом q и измеряется в кулонах (Кл).
Известно, что заряд дискретен, наименьший по абсолютной величине заряд принадлежит элементарной частице – электрону. Классическая электродинамика является макроскопической, то есть рассматривает действие огромных – «практически бесконечных» объемов заряженных частиц. Среда представляется сплошной, а токи и заряды – непрерывно распределенными в объеме.
Распределение заряда qв объемеVхарактеризуется величиной ρ, которая определяет величину заряда на единицу объема и называется объемной плотностью заряда (Рисунок 17 ):
Заряд, распределенный в объеме, определяется интегралом через объемную плотность:
.
−К определению объемной плотности заряда
В теории электромагнитного поля применяется также понятие поверхностной плотности заряда. В многих случаях, особенно когда частота изменения поля велика, заряд сосредотачивается в очень тонком слое у поверхноститела. В математических моделях при этом считают, что заряд становится чисто поверхностным (толщина слоя стремится к нулю). Заряд в этом случае определяется как (рисунок Рисунок 18 )
,
где ξ − поверхностная плотность заряда
.
−Поверхностная плотность заряда
Наконец, линейный заряд, т.е. распределенный вдоль линии l(например, заряд провода бесконечно малого радиуса, Рисунок 19 ) вычисляется как
,
где τ −линейная плотность заряда
.
−Линейная плотность заряда
Опытным путем установлен один из основных законов природы: закон сохранения электрического заряда: электрический заряд не уничтожается и не создается из ничего, он может быть лишь перераспределен между телами при их непосредственном контакте.