- •Лекции по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн»
- •Лекция 1. Вводная информация, основные понятия, история. Положения векторной алгебры
- •Название курса, преподаватель
- •Объем курса количество лекций, расписание, итоговая проверка
- •Рекомендуемая литература
- •Назначение курса. Рассматриваемые сущности
- •История
- •Рассматриваемые вопросы
- •Скаляры и векторы. Изображение векторов. Примеры скалярных и векторных величин
- •Операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение
- •Скалярные и векторные поля. Изображение полей. Примеры скалярных и векторных полей
- •Лекция 2. Используемые понятия и законы векторного анализа. Заряды и токи. Векторы электромагнитного поля.
- •Циркуляция вектора и поток вектора через поверхность
- •Потенциальное и вихревое поле
- •Градиент, оператор Гамильтона
- •Дивергенция, физический смысл дивергенции
- •Ротор, физический смысл ротора
- •Теорема Стокса
- •Теорема Остроградского-Гаусса
- •Заряды, плотность заряда. Закон сохранения заряда
- •Ток, плотность тока
- •Векторы электромагнитного поля
- •Вектор е напряженности электрического поля.
- •Вектор магнитной индукции b
- •Векторы н и Dэлектромагнитного поля
- •Сводка векторов и их единиц измерения
- •Лекция 3. Основные законы электромагнетизма. Параметры сред. Уравнения Максвелла. В дифференциальной и интегральной форме
- •Закон Гаусса
- •Закон электромагнитной индукции (Фарадея)
- •Закон полного тока (Ампера)
- •Параметры сред, классификация сред
- •Уравнения Максвелла
- •Первое уравнение Максвелла. Ток смещения
- •Второе уравнение Максвелла
- •Третье уравнение Максвелла
- •Четвертое уравнение Максвелла
- •Лекция 4. Обсуждение уравнение Максвелла и следствий из них. Сторонние силы Метод комплексных амплитуд, применение к уравнениям Максвелла. Энергетические соотношения
- •Обсуждение уравнений Максвелла
- •Сторонние токи и заряды
- •Частные случаи электромагнитных процессов
- •Метод комплексных амплитуд
- •Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемость
- •Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Теорема Пойнтинга
- •Теорема Пойнтинга для комплексных амплитуд
- •Лекция 5.
- •Уравнения Гельмгольца. Волновой характер электромагнитного поля
- •Волновые процессы
- •Плоские волны
- •Сферические волны
- •Цилиндрические волны
- •Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией
- •Фазовая скорость и постоянная затухания плоских волн
- •Плоские волны в хорошо проводящих средах
- •Лекция 6
- •Групповая скорость. Дисперсия
- •Групповая скорость
- •Поляризация электромагнитных волн
- •Линейная поляризация
- •Суперпозиция двух линейно поляризованных волн
- •Граничные условия для векторов электромагнитного поля
- •Граничные условия для нормальных составляющих магнитного поля
- •Граничные условия для нормальных составляющих электрического поля
- •Граничные условия для тангенциальных составляющих магнитного поля
- •Граничные условия для тангенциальных составляющих электрического поля
- •Сводка граничных условий
- •Лекция 7
- •Падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред
- •Плоские волны, распространяющиеся в произвольном направлении
- •Нормальное падение электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость
- •Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство
- •Падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство под произвольным углом
- •Лекция 8
- •Наклонное падение на границу раздела двух сред при перпендикулярной (горизонтальной) поляризации
- •Наклонное падение на границу раздела двух сред при параллельной (вертикальной) поляризации
- •Полное прохождение. Угол Брюстера
- •Полное отражение
- •Направляющие системы
Уравнения Максвелла
Теперь, зная основные положения векторного анализа и исходные законы электричества, мы можем приступить к рассмотрению фундаментальных законов электромагнетизма, которые формулируются в виде уравнений Максвелла. Эти уравнения являются наиболее широким обобщением экспериментальных данных и описывают все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопической электродинамике. Выводы теории, построенной на этих уравнениях, полностью подтверждаются экспериментами. Не обнаружено опытных данных, противоречащих теоретическим результатам, найденным на основе решения системы уравнений Максвелла. Поэтому система уравнений Максвелла принимается в качестве аксиом.
Уравнения были опубликованы Максвеллом в дифференциальной форме в 1873 году.
Уравнений Максвелла четыре, они записываются в дифференциальной и интегральной форме. Запишем их пока в виде сводки, далее мы подробно рассмотрим их вывод и физический смысл.
Интегральная форма:
Дифференциальная форма:
Следует отметить, что каждый из векторов, присутствующих в этих уравнениях, является векторным полем − функцией координат и времени:
.
,,,
Первое уравнение Максвелла. Ток смещения
Нами уже рассмотрен закон полного тока (Ампера):
,
полученный в результате большого количества экспериментов. Тем не менее, он не точно отображает закон природы и вступает в противоречие с опытом, если ток не постоянен по времени. Чтобы это показать, рассмотрим экспериментальную установку (рисунок Рисунок 31 ).
−К определению понятия тока смещения
На этом рисунке изображен конденсатор, обкладки которого начинают заряжаться после включения рубильника. Для проверки выражения полного тока окружим мысленно левую обкладку конденсатора замкнутой поверхностью. При этом поверхность будет проходить в воздухе между обкладками конденсатора и будет пересекать проводник, подводящий ток к левой обкладке. В выражении полного тока можно также перейти к замкнутой поверхности . Для этого надо представить себе поверхность, почти замкнутую, с малым отверстием, по границе которого проведен контур. Так как выражение годно для любой поверхности, то оно сохранит свою силу и в этом случае. Затем контур будем мысленно стягивать в точку. Поскольку сила магнитного поля не может быть бесконечно большой, так как в этом случае запас энергии в данном месте был бы бесконечным, то при стремлении контура к нулю будет стремиться к нулю и циркуляция магнитного поля по этому бесконечно малому контуру, то есть левая часть выражения обратится в нуль:. Следовательно, и правая часть будет равна нулю:. Между тем, конденсатор заряжается через проводник, перерезанный этой замкнутой поверхностью. Это противоречит выражению.
Чтобы избежать указанного противоречия, Максвелл дополнил выражение током смещения, который зависит от вектора электрической индукции . Этот вектор зависит от силы электрического поляи от свойств среды. Наиболее проста эта зависимость в вакууме, для которого
где − постоянная величина. В других средах коэффициент пропорциональности между вектором электрического поля и вектором электрической индукции может и не быть постоянной величиной, а направления в пространстве векторов поля и индукции могут и не совпадать.
Выражение закона полного тока в исправленном Максвеллом виде содержит слагаемое, прибавляющееся к вектору плотности тока, связанного с переносом зарядов, и записывается так:
.
Величину Максвелл назвал током смещения. Ток смещения, получается за счет интегрирования вектора плотности тока смещения
.
Полный ток
.
Ток смещения ликвидирует отмеченное противоречие между опытом и законом полного тока в домаксвелловской формулировке. При заряде конденсатора между его обкладками появляется электрическое поле, а вместе с ним появляется и вектор электрической индукции, и так как электрическая индукция растет, то ее производная по времени положительна, и появляется ток смещения. Так как (применяя то же рассуждение, которое мы применили ранее к замкнутой поверхности) ток смещения и ток проводимости должны в сумме дать нуль через любую замкнутую поверхность, то ток проводимости, текущий по проводнику в обкладку конденсатора, должен быть в точности равен току смещения, «вытекающему» через поверхность. Слово «вытекающий» здесь применяется по аналогии с током, вызванным перемещением зарядов. На самом деле ток смещения никуда не течет подобно магнитному потоку.
Описанное обобщение закона полного тока называется первым уравнением Максвелла в интегральной форме. В литературе его приводят в двух формах:
,
или, что то же самое
.
Для перехода к дифференциальной форме уравнения применим теорему Стокса:
Применяя ее к левой части первого уравнения Максвелла в интегральной форме, получим:
Так как поверхность произвольна, то это равенство возможно только при равенстве подынтегральных выражений, т.е.
,
что называется дифференциальной формой первого уравнения Максвелла. Это уравнение связывает между собой векторы магнитного поля, электрической индукции и плотности тока в точке пространства.
Все векторные уравнения Максвелла есть краткая запись трех скалярных уравнений, которые немедленно получаются, как только выбрана определенная система координат, и векторы, входящие в уравнения, спроектированы на соответствующие орты в произвольной точке пространства. Тогда возникают, как принято говорить «уравнения Максвелла в координатной форме». Самым простым и распространенным является использование декартовых координат. Обращаясь к основным положениям векторного анализа и раскрывая операцию ротора, первое уравнение можно записать в виде: