5. Ротор, физический смысл ротора

В исследовании движения, например, жидкости, воронки и водовороты на поверхности воды всегда привлекают внимание исследователя. Математическая формулировка вращения жидкости приводит к понятию циркуляции, описанной выше. Продемонстрировать роль циркуляции во вращении жидкости можно следующим образом. Представим себе небольшое колесико с лопастями наподобие колеса водяной мельницы, но очень малых размеров. Предположим, что это колесо подвешено на подшипниках и может вращаться вокруг своей оси. Если мы поместим его в течение ручья, то оно либо будет в покое, либо будет вращаться. При этом пусть колесико целиком погружается в воду во всех случаях. Его вращение будет иметь место тогда, когда скорость течения воды в ручье в том месте, где погружено колесико, меняется от точки к точке пространства. Тогда на лопатки колеса с одной стороны вода набегает с несколько меньшей скоростью, чем с другой, и, под воздействием разности сил, действующих на лопатки с разных сторон, колесико придет во вращение, причем тем быстрее, чем больше неравномерность скорости в месте его погружения.

15. − Ротор

Колесико является лишь своеобразным индикатором вращения частей жидкости. Чтобы математически записать величину, определяющую тенденцию жидкости вращаться, проведем мысленно окружность через центры лопаток колеса и для этого контура, который собой представляет проведенная окружность, запишем циркуляцию скорости жидкости :

.

Если циркуляция равна нулю, то колесико останется неподвижным, если же циркуляция будет положительна, колесико начнет вращаться в положительном направлении, и наоборот. Вектор угловой скорости колесика будет направлен вдоль его оси в правовинтовой системе координат.

Чтобы сделать определение состояния жидкости независимым от размеров колесика, надо рассмотреть предел отношения циркуляции к площади поверхности круга, ограниченного контуром . Это выражение даст проекцию некоторого вектора на направление оси колесика:

Направление нормали связано с направлением положительного обхода по контуру с правилом правого винта.

Данный вектор называется ротором. Чтобы определить его полностью, нужно найти все три его проекции на взаимно перпендикулярные направления по аналогичным формулам, затем умножить их на соответствующие орты и сложить. Тогда, используя оператор Гамильтона, получим

и

6. Теорема Стокса

Из определения проекции ротора на направление нормали вытекает теорема Стокса, имеющая важное значение при выводе уравнений Максвелла. Теорема Стокса относится к контуру произвольных размеров и опирающейся на него поверхности. Для вывода выражения, представляющего собой теорему Стокса, разобьем поверхность, опирающуюся на контур, на большое число малых поверхностей, каждая из которых ограничена малым контуром(рисунок Рисунок 16 ). Для каждой из малых поверхностей, составляющих вместе большую, будет приближенно справедливо выражение для проекции ротора на нормаль к поверхности, которое можно переписать в виде

,

где − малая величина более высокого порядка малости, чем. Здесь− номер контура и соответствующего элемента поверхности, так что равенства подобного вида будут записаны для всех элементов.

16. −Теорема Стокса

Сложим теперь эти равенства для всех элементов, в результате чего получим:

.

Рассмотрим сумму циркуляций в правой части этого уравнения. Все контуры должны иметь одинаковое направление обхода, так как нормали к элементам поверхности направлены в одну сторону, а направление нормали и обхода связаны между собой правилом правого винта. Поэтому соседние линии двух контуров, соприкасающихся между собой, будут направлены в противоположные стороны, и так будет для любой пары соседних линий. Следовательно, циркуляции по всем этим соседним участкам будут иметь одинаковую величину и противоположные знаки, и при сложении всех циркуляций останется только циркуляция по внешнему контуру, так как для внешнего контура не будет парных ему участков контура, направленных в противоположную сторону. Вследствие этого, для любого разбиения поверхности на участки, получится равенство

.

Это равенство будет справедливо и тогда, когда поверхность разбита на небольшое количество участков, так как оно основано на взаимном уничтожении циркуляций на линиях раздела соседних участков, в результате чего остается только циркуляция по внешнему контуру.

Будем увеличивать число площадок на поверхности до бесконечности при одновременном уменьшении их размеров. В пределе сумма в левой части перейдет в интеграл, а последнее слагаемое в правой части исчезнет и все равенство примет следующий вид:

.

Это равенство дает содержание теоремы Стокса: поверхностный интеграл ротора вектора равен циркуляции этого вектора по контуру, ограничивающему поверхность.