5. Падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство под произвольным углом

Рассмотрим, наконец, наиболее общий случай, при котором плоская электромагнитная волна, распространяясь в среде 1, падает на границу раздела под произвольным углом , удовлетворяющим условию. Геометрия данной задачи и направление осей координат показаны на рисунке.

При анализе этой системы естественно выделить три волны: падающую, отраженную и преломленную. Векторы Пойнтинга всех трех перечисленных волн лежат в одной плоскости, названной плоскостью падения.

Для того, чтобы записать комплексные амплитуды электромагнитных полей, следует воспользоваться результатами рассмотрения случая распространения плоской волны в произвольном направлении, что было сделано выше.

63. − Наклонное падение плоской волны

.

Из рисунка следует, что вектор образует с положительными направлениями осей,,углы,исоответственно.

Тогда

,

,

.

Тогда комплексная амплитуда падающей волны может быть записана следующим образом:

Если через иобозначить углы, указанные на рисунке и называемые соответственно углами отражения и преломления, то комплексные амплитуды отраженной и преломленной волн могут быть представлены в виде:

,

На границе раздела, т.е., в плоскости , должны выполняться условия непрерывности тангенциальных составляющих векторови, т.е.

,при.

Например, для вектора напряженности электрического поля получим

Поскольку все точки поверхности разделя являются совершенно равноправными, это соотношение должно являться тождеством относительно переменной . Для этого необходимо, чтобы показатели всех экспонент, входящих в него, были равны при всех. Данное условие может быть записано в виде двух равенств:

,

.

Таким образом, получены два хорошо известных из элементарной физики закона, определяющих поведение волн на границе раздела двух сред. Эти законы носят название законов Снеллиуса (Снелля) и формулируются следующим образом:

1. Угол падения равен углу отражения.

2. Отношение синусов угла падения и преломления равно обратному отношению показателей преломления.

Поскольку , второй закон Снеллиуса может быть записан в таком виде, что в него войдут лишь электродинамические параметры граничащих сред. Для этого для каждой среды введем величину, носящую название показателя преломления данной среды. Тогдаи. Если, например,, то принято говорить, что вторая среда обладает большей оптической плотностью, чем первая. Используется также понятие относительного показателя преломления двух сред. В этом случае закон Снеллиуса примет вид

.

Рассмотренные закономерности верны безотносительно ориентации векторов поля к плоскости падения. Более тщательный анализ показывает, что в силу векторного характера электромагнитного поля ряд явлений, возникающих при падении плоской электромагнитной волны на границу раздела, существенно различается в зависимости от взаимной ориентации плоскостей поляризации и падения. Поэтому следует более подробно рассмотреть два случая.

8. Лекция 8

   1. Наклонное падение на границу раздела двух сред при перпендикулярной (горизонтальной) поляризации

Этот случай характеризуется тем, что плоскость поляризации, т.е., плоскость, содержащая вектор , перпендикулярна плоскости падения (рисунок Рисунок 64 ). Другими словами, векторрасположен горизонтально по отношению к плоскости раздела сред.

64. −Случай перпендикулярной поляризации

Определять коэффициенты отражения и преломления для случая перпендикулярной (горизонтальной) поляризации будем, пользуясь принципом непрерывности тангенциальных составляющих поля на границе раздела.

Граничные условия относительно напряженности электрического поля запишутся весьма просто:

.

При записи граничных условий относительно векторов напряженности магнитного поля следует учесть, прежде всего, что тангенциальные составляющие получаются за счет умножения модулей векторов на косинусы соответствующих углов. Кроме того, в данной задаче весьма удобно выразить выекторычерез векторы, пользуясь понятием характеристических сопротивлений сред. Таким образом, условие непрерывности тангенциальных составляющих векторовв плоскостипримет вид

.

Введем коэффициенты отражения и преломления по нулю, указав значком снизу, что эти величины относятся к случаю перпендикулярной поляризации:

,.

Теперь, граничное условие и второй закон Снеллиуса можно объединить, получив систему двух алгебраических линеныйх уравнений относительно и:

Решение этой системы имеет вид

косинус пси

,

.

Интересно отметить, что вид этих соотношений аналогичен виду формул, полученных для случая нормального падения плоской волны на диэлектричское полупространство. Отличие состоит лишь в том, что здесь характеристические сопротивления приходится умножить на косинусы соответствующих углов. При пользовании данными формулами необходимо, задаваясь некоторым значением угла падения , одновременно вычислить угол преломленияна основании первого закона Снеллиуса.

На практике весьма часто приходится вычислять характеристики отражения и преломления для частного случая, когда средой 1 является вакуум или воздух (,), а средой 2 − немагнитный () диэлектрик с относительной проницаемостью. При этом удается объединить формулы со вторым законом Снеллиуса и записать их в виде

,

.