Вопрос 17. Резонанс напряжений

Рассмотрим вновь схему рис. 4.2. Для этой цепи комплексное значение входного сопротивления:

(4.34)

Очевидно, всегда существует такое значение частоты когда выполняется условие:

При этом , т.е. входное сопротивление схемы будет чисто активным, а ток схемы совпадает по фазе с напряжением питания, соответственно= 0,cos= 1.

Значение определяется формулой:

, (4.35)

тогда

,

то есть индуктивное и ёмкостное сопротивления равны между собой:

,

где называют характеристическим или волновым сопротивлением цепи.

Добротностью резонансного контура называют отношение:

. (4.36)

Обратное отношение называется затуханием контура

. (4.37)

Распределение напряжений в схеме в режиме резонанса:

,

то есть напряжение на активном сопротивлении равно приложенному напряжению.

Напряжения на активных элементах при резонансе:

.

Они могут быть выше напряжения питания, если X_L=X_CR, то естьQ1.

Векторная диаграмма схемы рис. 4.2 в режиме резонанса напряжений приведена на рис. 4.16.

Хотя реактивная мощность, потребляемая схемой. равна нулю, запас реактивной энергии в схеме не равен нулю. В схеме происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно:

W_L+W_C=.

Для глубокого уяснения процессов. происходящих в рассматриваемой схеме, полезно построить графики зависимости от частоты токов и напряжений схемы. Если величина приложенного к схеме напряжения не меняется с изменением частоты, кривая тока (рис. 4.17) имеет максимум при , что видно из соотношения:

.

Форма кривой тока будет более островершинной при больших значениях добротности.

Значения ипри резонансе равны между собой, но эти значения не являются наибольшими. ВеличинаU_C достигает максимума при_0, аU_L – при_0. Фазовый угол также изменяется в пределах от +90⁰ эл. до -90⁰ эл. в соответствии с соотношением

.

Кривая изменения () показывает, что при₀ схема работает в ёмкостном режиме, а при₀ - в индуктивном.

Вопрос 16. Резонанс токов

Рассмотрим вначале идеализированную схему рис. 4.9. Полная проводимость схемы:

. (4.38)

При некотором значении =₀ :Y=gи схема ведёт себя как чисто активная проводимость, при этом, откуда, что совпадает с (4.32). То есть для схемы рис. 4.9 условие резонанса токов и условие резонанса напряжений одинаковы.

Очевидно, что в режиме резонанса токов I_L=I_C, а общий ток схемыI= =I_а.

Характеристическая или волновая проводимость схемы:

. (4.39)

Добротность схемы .

Затухание схемы .

Векторная диаграмма схемы приведена на рис. 4.18.

Форма резонансных кривых при varприведена на рис. 4.19.

При ₀ в схеме преобладает индуктивный ток, при₀– ёмкостный.

Рассмотренная схема является идеализированной. В ней не учтено, что реальная катушка индуктивности всегда имеет некоторое активное сопротивление R₁( сопротивление провода катушки и ряд других факторов), а реальный конденсатор за счёт несовершенства его изоляции также имеет активные потери, что на схеме замещения должно быть учтено активным сопротивлениемR₂ . В связи с этим в реальных условиях явление резонанса токов следует рассматривать на примере схемы рис. 4.20.

Здесь условие резонанса токов – равенство реактивных проводимостей параллельных ветвей – запишется с учётом (4.15) в следующем виде:

b_L=b_C,,

или ,

откуда . (4.40)

Отсюда видно, что в данном случае резонансная частота ₀ зависит не только отLиC, но и от активных сопротивленийR₁иR₂ . В зависимости от соотношения этих сопротивлений иL/Cвозможны следующие частные случаи:

1. R₁=R₂ = 0, тогда, что соответствует ранее рассмотренному случаю.

2. – формула 4.40 даёт неопределённость, что соответствует режиму резонанса на любой частоте.

3. либо,

то есть числитель и знаменатель второго корня (4.40) имеют одинаковый знак. При этом резонанс возможен при частоте, определяемой формулой 4.40.

4. либо,

то есть числитель и знаменатель имеют разные знаки. В этом случае резонанс в схеме невозможен. Векторная диаграмма схемы приведена на рис. 4.21. Нетрудно заметить, что как и в предыдущем случае при резонансе вся схема имеет чисто активную проводимость:

.

Вопрос № 10. Синусоидальный ток в R