OVZINNIKOV

3.5. Система состоит из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел

лам, и вычислите ее величину для t = 1/6 с.

3.7.Платформа движется по горизонтальным рельсам в положительном направлении координатной оси X со скоростью 1 м/с. Человек, масса которого равна массе платформы, находится на платформе и сначала покоится относительно нее. Затем человек разгоняется

ипокидает платформу со скоростью 2 м/с относительно платформы в положительном направлении координатной оси X. Вычислите скорость пустой платформы. Трением о рельсы

исопротивлением воздуха пренебречь.

3.8.Платформа движется по горизонтальным рельсам в положительном направлении координатной оси X со скоростью 1 м/с. Человек, масса которого равна массе платформы, находится на платформе и сначала покоится относительно нее. Затем человек разгоняется

ипокидает платформу со скоростью 2 м/с относительно платформы в отрицательном направлении координатной оси X. Вычислите скорость пустой платформы. Трением о рельсы

исопротивлением воздуха пренебречь.

3.9.Платформа движется по горизонтальным рельсам в положительном направлении координатной оси X со скоростью 1 м/с. Человек, масса которого равна массе платформы, находится на платформе и сначала покоится относительно нее. Затем человек разгоняется и покидает платформу с горизонтальной скоростью 2 м/с относительно платформы в направлении, перпендикулярном координатной оси X. Вычислите скорость пустой платформы. Трением о рельсы и сопротивлением воздуха пренебречь.

3.10.Тележка с песком движется по горизонтальным прямолинейным рельсам со скоростью 10 м/с. В дне тележки образовалась дыра, песок стал высыпаться, и через некоторое время масса тележки с песком уменьшилась в 2 раза. Вычислите скорость тележки для этого момента времени. Трением о рельсы и сопротивлением воздуха пренебречь.

31

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.11.Пустая тележка движется по горизонтальным прямолинейным рельсам со скоростью 10 м/с. По ходу движения тележки, над рельсами на достаточной высоте закреплен бункер с песком. В момент прохождения тележки под бункером из него в тележку высыпался песок, масса которого равна массе пустой тележки. Вычислите конечную скорость тележки. Трением о рельсы и сопротивлением воздуха пренебречь.

3.12.На покоившейся тележке массой M стояли два человека одинаковой массой m. Затем они покинули тележку, разогнавшись вдоль рельсов до скорости v′ относительно тележки, один раз одновременно, другой раз последовательно друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз? Трением о рельсы и сопротивлением воздуха пренебречь.

3.2. Движение тела переменной массы

- сумма всех внешних сил; ur dmdt - реактивная сила; u - скорость истечения отработанного топлива в СО «ракета».

Вычисление реактивной силы

3.13. Допустим, что каждую секунду из ракеты вылетает 100 кг отработанного топлива со скоростью 500 м/с (относительно ракеты). Вычислите величину силы, действующей на ракету, со стороны вылетающего топлива.

Вычисление скорости ракеты

3.14.Допустим, что скорость, с которой вылетает из ракеты топливо (в системе отсчета «ракета»), равна 500 м/с. Ракета стартует с нулевой начальной скоростью в отсутствие внешних сил. Вычислите величину скорости ракеты для момента времени, когда масса ракеты уменьшится приблизительно в 2,7 раза по сравнению со стартовой.

3.15.Стартовая масса двухступенчатой ракеты равна M = 25,5 т. Масса корпуса первой ступени равна m01 = 2 т, масса топлива в ней m1 = 20 т. После сжигания 20 т топлива первая ступень отбрасывается и включается вторая ступень. Скорость истечения топли-

32

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ва в системе отсчета «ракета» равна u = 1 км/с. Найдите скорость v1 ракеты для момента отделения первой ступени.

3.16. Стартовая масса двухступенчатой ракеты равна M = 25,5 т. Масса корпуса первой ступени равна m01 = 2 т, масса топлива в ней m1 = 20 т. Масса корпуса второй ступени равна m02 = 0,5 т, масса топлива в ней m2 = 3 т. После сжигания 20 т топлива первая ступень отбрасывается и включается вторая ступень. Скорость истечения топлива в системе отсчета «ракета» равна u = 1 км/с. Найдите скорость v2 ракеты после использования всего топлива.

3.17. Стартовая масса одноступенчатой ракеты равна M = 25,5 т. Масса корпуса равна m0 = 2,5 т, масса топлива m = 23 т. Скорость истечения топлива в системе отсчета «ракета» равна u = 1 км/с. Найдите скорость v ракеты после использования всего топлива. Результат вычислений сравните с ответом, полученным при решении задачи 3.16.

3.3. Импульс системы материальных точек

Центр масс. Система отсчета центра масс

Центром масс системы материальных точек называется точка пространства, радиус- вектор которой находится по формуле

Rr = å miri .

å mi

Соответственно скорость центра масс равна

Vr = å mivi .

å mi

Системой отсчета центра масс (Ц-системой) называется такая система отсчета, относительно которой покоится центр масс рассматриваемой системы частиц и которая движется поступательно относительно инерциальной системы отсчета.

3.18.Две материальные точки одинаковой массой движутся со скоростями соответственно 3 и 4 м/с во взаимно перпендикулярных направлениях. Вычислите модуль скорости V центра масс системы этих точек.

3.19.В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек равны соответственно 3 и 4 кг∙м/с. Направления импульсов составляют прямой угол. Вычислите модуль импульса P системы этих материальных точек в лабораторной системе отсчета.

33

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.20. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек одинаковы и равны 4 кг∙м/с. Векторы импульсов сонаправлены и лежат на прямой, прохо-

дящей через обе материальные точки. Вычислите модуль импульса ~ системы этих мате-

P

риальных точек в системе отсчета центра масс.

3.21. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек одинаковы и равны 2 кг∙м/с. Векторы импульсов противонаправлены и лежат на прямой,

проходящей через обе материальные точки. Вычислите модуль импульса ~ системы этих

P

материальных точек в системе отсчета центра масс.

3.22. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек равны соответственно 2 и 5 кг∙м/с. Векторы импульсов противонаправлены и лежат на

прямой, проходящей через обе материальные точки. Вычислите модуль импульса ~ сис-

P

темы этих материальных точек в системе отсчета центра масс.

3.23. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек равны соответственно 3 и 4 кг∙м/с. Направления импульсов составляют прямой угол. Вы-

числите модуль импульса ~ системы этих материальных точек в системе отсчета центра

P

масс.

Использование Ц-системы отсчета для представления движения системы материальных точек в виде суммы движения системы точек как целого и внутреннего движения

3.24.Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно v и 3 v . Найдите величину F силы натяжения нити.

3.25.Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно

vи 3 v . Найдите величину F силы натяжения нити.

3.26.Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент вре-

мени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно 3 v и 5 v . Найдите величину F силы натяжения нити.

3.27. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент вре-

34

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

мени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно 3 v и 5 v . Найдите величину F силы натяжения нити.

3.28. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно 2 v и 4 v . Найдите величину F силы натяжения нити.

3.29.Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно 2 v и 4 v . Найдите величину F силы натяжения нити.

3.30.Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент вре-

мени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно 4 v и 6 v . Найдите величину F силы натяжения нити.

3.31.Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно 4 v и 6 v . Найдите величину F силы натяжения нити.

3.32.Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно v / 2 и 5 v / 2. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.33.Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая связаны нерастяжимой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно

v/ 2 и 5 v / 2. Найдите величину F силы натяжения нити.

35

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4. Законы изменения и сохранения механической энергии

4.1. Работа и мощность силы

Работа постоянной силы

Работа постоянной силы, приложенной к телу, определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения тела

A = (F,(r2 − r1)).

4.1.Под действием постоянной силы величиной 5 Н тело совершает перемещение величиной 2 м. Вычислите работу этой силы, если угол между векторами силы и перемещения равен 60°.

4.2.Под действием постоянной силы величиной 2 Н тело совершает перемещение величиной 1 м. Вычислите работу этой силы, если угол между векторами силы и перемещения равен 120°.

4.3.Под действием постоянной силы величиной 7 Н тело совершает перемещение величиной 4 м. Вычислите работу этой силы, если угол между векторами силы и перемещения равен 90°.

4.4.Под действием постоянной силы F = 3i + 4 j небольшое тело совершает переме-

Работа переменной силы

Разделяем конечное перемещение (r2 − r1) на такие элементарные перемещения dr ,

чтобы на любом из них можно было считать силу постоянной по величине и направлению.

Тогда можно ввести понятие элементарной работы dA = (F,dr ). Затем учитываем замеча-

тельное свойство работы - аддитивность (свойство складываться):

A = rò2 (Fr, drr).

rr1

36

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.6.Материальная точка движется вдоль координатной оси X под действием силы, проекция которой FX находится по формуле FX = –100 x. Вычислите работу этой силы на перемещении от точки с координатой x1 = 0,1 м до точки с координатой x2 = 0,3 м.

4.7.Известно, что на небольшое тело массой m со стороны Земли массой M и радиусом R действует сила притяжения GmM/x2 (причем x > R). Здесь x - расстояние от центра Земли до тела. С высоты H = R из состояния покоя падает небольшое тело. Найдите работу силы притяжения на этом перемещении.

4.8.Тело массой 6,4 кг бросили вертикально вверх и оно поднялось на высоту, равную радиусу Земли. Гравитационная постоянная, масса Земли и ее радиус равны соответ-

ственно 6,7×10–11; 6×1024; 6,4×106. Вычислите работу силы притяжения, действующей на тело, со стороны Земли на этом перемещении.

Мощность силы

4.11. Тело массой m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v0 . Най-

дите среднюю мощность, развиваемую постоянной силой тяжести за все время движения тела от старта до финиша на стартовом горизонте, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

4.2. Кинетическая и потенциальная энергия

Теорема о приращении кинетической энергии

-

Приращение кинетической энергии материальной точки или поступательно движущегося твердого тела равно работе всех сил, приложенных к материальной точке или телу:

37

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.12.Пуля массой 10 г, перемещаясь практически горизонтально, пробивает доску. В результате ее скорость, равная в начале 400 м/с, уменьшается в 2 раза. Вычислите работу силы сопротивления, которая действует на пулю в доске.

4.13.Тело массой 5 кг движется под действием сил так, что его скорость увеличивается со временем по закону v = 3 + 2t . Вычислите работу суммарной силы, действующей на тело, за первые 2 с после начала движения.

4.14.Материальная точка начинает двигаться вдоль координатной оси X под действи-

ем силы, проекция которой находится по формуле Fx = 4 x3 , и проходит расстояние, рав-

ное 1 м. Вычислите кинетическую энергию этой материальной точки в конце пути.

4.15. Брусок массой m скользит с начальной скоростью v0 в лабораторной системе отсчета по шероховатой горизонтальной поверхности. Сначала найдите работу A силы трения, приложенной к бруску, до его остановки в лабораторной системе отсчета. Затем перейдите в систему отсчета, движущуюся относительно лабораторной со скоростью

V = v0 , и найдите в этой системе отсчета соответствующую работу A′ . Сравните полу-

ченные результаты. Зависят ли они от выбора системы отсчета?

4.16. Какую мощность развивают двигатели ракеты массой m, которая неподвижно висит над земной стартовой площадкой, если скорость истечения газов равна u?

Потенциальная энергия взаимодействия системы материальных точек

Для того чтобы работа силы, приложенной к телу, при переносе тела из позиции 1 в позицию 2

не зависела от формы траектории, необходимо, чтобы сумма

FX × dx + FY × dy + FZ × dz

была полным дифференциалом. В свою очередь, для того, чтобы указанная сумма была полным дифференциалом, должны выполняться равенства

Только при выполнении этих условий можно сопоставить точкам пространства (x, y, z) не-

которую функцию координат U (x, y, z) и назвать ее потенциальной энергией, а силу - по-

38

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

тенциальной или консервативной. Определение формулируется не для потенциальной энергии, а для ее приращения

или ее убыли

Таким образом, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной - уровня отсчета потенциальной энергии.

Определение приращения потенциальной энергии в дифференциальной форме имеет

вид

4.17.Является ли сила F = (y2 - x2 )i + 3xyk консервативной?

4.18.Является ли сила F = axi - byj + czk консервативной?

4.19.Является ли сила F = ayi + bx2 j консервативной?

4.20.Шарик массой m1 = 0,1 кг находится на высоте H1 = 2 м над некоторой горизонтальной поверхностью, а шарик массой m2 = 0,3 кг - на высоте H2 = 1 м над той же поверхностью. Найдите потенциальную энергию каждого шарика в поле сил тяжести Земли, отсчитанную от некоторой другой горизонтальной поверхности, если известно, что в этом случае энергии одинаковы.

4.21.Введем координатную ось X, направленную от центра Земли. Пусть точка x = 0 расположена на поверхности Земли. Найдите разность потенциальных энергий взаимодействия Земли и тела массой m в точках x1 = 0 и x2 = H, если считать силу притяжения тела к Земле постоянной и равной mg.

4.22.Материальная точка движется вдоль координатной оси X под действием силы, проекция которой Fx находится по формуле Fx = –100 x. Вычислите приращение потенциальной энергии материальной точки на перемещении от точки с координатой x1 = 0,1 м до точки с координатой x2 = 0,3 м.

4.23.Материальная точка движется вдоль координатной оси X под действием силы,

проекция которой FX находится по формуле FX = 3 x2 . Вычислите приращение потенци-

39

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

альной энергии материальной точки на перемещении от точки с координатой x1 = 0 м до точки с координатой x2 = 2 м.

4.24.Известно, что на небольшое тело массой m со стороны Земли массой M и радиусом R действует сила притяжения GmM/x2 (причем x > R). Здесь x - расстояние от центра Земли до тела. Найдите разность потенциальных энергий взаимодействия тела массой m с Землей в точках x = R + H и x = R.

4.25.В некоторой точке траектории потенциальная энергия взаимодействия материальной точки с внешним полем равна 2 Дж. Можно ли, располагая этой информацией, найти силу, действующую на материальную точку?

4.26.В двух близких точках 1 и 2 потенциальная энергия взаимодействия частицы с внешним полем равна соответственно 5 и 6 Дж. Расстояние между точками равно 1 см. Вычислите проекцию силы на координатную ось X, проходящую через эти точки (от 1 к 2).

4.27.Известно, что потенциальная энергия взаимодействия небольшого тела мас-

сой m с Землей массой M и радиусом R вычисляется по формуле U (r)= - GmM . Здесь ис- r

пользуется полярная координатная ось r с началом r = 0 в центре Земли. Формула выведена в предположении, что U (¥)= 0 и r ³ R . Найдите проекцию Fr силы, действующей на тело со стороны Земли.

4.28. Известно, что потенциальная энергия взаимодействия небольшого тела мас-

используется полярная координатная ось r с началом r = 0 в центре Земли. Формула выведена в предположении, что U (R)= 0 и r ³ R . Найдите проекцию Fr силы, действующей на тело со стороны Земли.

4.29. Потенциальная энергия взаимодействия частицы с внешним силовым полем равна U (r)= Ar = A(x2 + y2 + z2 )−1/ 2 . Здесь A - постоянная величина. Найдите проекции FX,

FY, FZ силы, действующей на эту частицу.

4.30. Потенциальная энергия взаимодействия частицы с внешним силовым полем равна U (r)= rA2 = A(x2 + y2 + z2 )−1 . Здесь A - постоянная величина. Найдите проекции FX, FY,

FZ силы, действующей на эту частицу.

4.31. Потенциальная энергия взаимодействия частицы с внешним силовым полем

действующую на эту частицу.

40

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com