Эконометрика. Тихомиров
.pdf
а ошибка уT(2) равна
yT (2) T 2 1 T 1. |
(12.54) |
В свою очередь, с учетом независимости T+2 и T+1 из выражения (12.54)
следует, что дисперсия прогноза на момент Т+2 оценивается согласно следующему выражению:
|
2 |
( y |
) |
2 |
(1+ |
2 |
(12.55) |
|
|
|
e |
a1 |
). |
||||
|
T 2 |
|
|
|
||||
Продолжая схему прогнозирования, определенную выражениями (12.48)-
(12.55) несложно видеть, что прогноз на l шагов вперед на основе модели АР(1) представляется в следующем виде:
yT l (1 1l ) 1l yT ( T l 1 T l 1 ... 1l 1 T 1).(12.56)
Его математическое ожидание определяется выражением
y |
(l) M [y |
/ y |
l |
) y |
|
l |
y |
, |
(12.57) |
] (1 a |
a1 |
|
|||||||
T |
T l |
T |
|
|
|
T |
|
|
а ошибка и ее дисперсия – соответственно выражениями
y |
|
(l) |
T l |
|
1 |
|
T l 1 |
... |
1 |
l |
|
T 1 |
; |
(12.58) |
||||
|
|
|||||||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
( y |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
2 (l 1) |
|
2 |
|
(12.59) |
|||
|
) (1+ a1 |
+ a1 |
+...+ a |
|
) |
e . |
||||||||||||
|
|
|
T l |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Из выражений (12.57), в частности, вытекает, что так как a1 1, то c
ростом l математическое ожидание прогноза стремится к математическому ожиданию стационарного процесса
M [ yT l / yT ] y,
а дисперсия прогноза стремится к дисперсии процесса
|
2 |
T l |
2 |
, |
|
|
|
||||
|
|
( y |
) |
|
|
поскольку из выражения (12.59) следует, что
|
2 |
( yT |
|
l) |
2 (1 a12l) |
2 |
(12.60) |
|
|
1 a12 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
Модель СС(1).
Прогнозируя на момент Т+1 на основе модели СС(1)
yt |
t 1 t 1, |
получим следующее прогнозное значение рассматриваемой переменной y:
yT 1 T 1 1 T . |
(12.61) |
Поскольку математическое ожидание ошибки T+1 равно нулю, а ее значение в момент времени Т известно, то математическое ожидание такого прогноза равно
y |
|
(1) M [ y |
|
] |
|
b1 eT . |
(12.62) |
T |
T 1 |
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
где eT – оценка ошибки модели в момент Т. |
|
Из (12.61) и (12.62) вытекает, что при неразличимости параметра 1 |
и его |
оценки b1 ошибка такого прогноза равна T+1. |
|
yT (1) yT 1 yT (1) T 1, |
(12.63) |
Продолжая последовательно процедуру прогнозирования на момент Т+l,
получим следующие выражения прогнозного значения случайной величины и ее математического ожидания:
y |
(1 |
1 |
l ) |
l |
y |
|
T l |
( |
|
|
) |
T l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
T l |
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
( |
) |
T l 2 |
... |
1 |
l 2 |
( |
|
) |
T 1 |
|
l 1 |
|
T |
; |
(12.75) |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(l) (1 a1l ) a1l |
y |
a1l e . |
|
|
|
(12.76) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|
|
|
Соответственно из выражений (12.75) и (12.76) вытекает, что оценка дисперсии этой ошибки (дисперсии прогноза) может быть определена следующим образом:
|
2 |
( y |
) M [y |
y |
2 |
= |
2 |
[(1+ ( |
|
|
) |
2 |
+ |
2 |
( |
|
|
) |
2 |
+...+ |
|
|
|
(l)] |
e |
a1 |
|
a1 |
a1 |
|
|||||||||||||
|
T l |
T l |
T |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
b1 |
|
|
||||||
+ |
2 (l 1) ( |
a |
|
b |
)2 |
]. |
(12.77) |
|
a |
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
Несложно показать, что l оценка дисперсии прогноза уT+l стремится к следующему пределу:
|
2 |
|
|
2 |
|
1 2 a |
b |
b |
|
|
|
( y |
) |
|
1 |
1 |
1 |
. |
(12.78) |
||
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
T l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
1 a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По аналогичной схеме в предположении о детерминированном характере показателей моделей могут быть получены выражения, определяющие оценки дисперсий прогнозов моделей временных рядов и других модификаций, включая модели финансовой эконометрики.
Вопросы к главе XII
1.Что представляет собой “верификации прогноза”?
2.Как оценивается точность прогноза?
3.Что представляет собой “доверительный интервал прогноза”?
4.Охарактеризуйте методы оценки доверительного интервала прогноза в моделях с детерминированными и случайными параметрами.
5.Охарактеризуйте особенности прогнозирования на основе моделей временных рядов.
Упражнения к главе XII
Задание 12.1
На основании выборки из 20 наблюдений оценено следующее уравнение зависимости затрат на рекламу у от годового оборота х в определенной отрасли (см. задание 2.4):
|
|
|
y 1,6042 |
01621, |
x. |
Известно, что ошибка уравнения распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.
Требуется:
1.Определить 95%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной y0 при x0=30.
2.Определить 95%-е прогнозные интервалы математического ожидания целевой переменной при значениях объясняющей переменной 10, 15, 20, 25.
Отобразить все прогнозные интервалы и линию регрессии на графике.
Прокомментировать результат. Проверить правильность утверждения: “С
доверительной вероятностью 95% все перечисленные прогнозные значения математического ожидания лежат в данном интервале ”.
3. Оценить 95%-й прогнозный интервал для отдельного значения целевой переменной при x0=30 и сравнить его с прогнозным интервалом в п. 1.
Задание 12.2
На основании выборки из 10 наблюдений оценено следующее уравнение зависимости спроса на некоторое благо у домохозяйств определенной структуры (у) от цены этого блага (х1) и дохода домохозяйства (х2) (см.
задание 2.15):
|
|
|
|
y 13,271 |
1,4937 |
x1 |
0,023118 x2 . |
Известно, что ошибка уравнения распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.
Требуется:
1. Рассчитать 95%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной y0 для значений объясняющих переменных (5,5; 1100) и
(6,0; 1150).
2. Определить 95%-й прогнозный интервал для отдельного значения целевой переменной при таких же, как в п. 1, значениях объясняющих переменных.
Задание 12.3
Имеется информация о средних транспортных индексах в летний период
1999 г. (см. табл. 6.3).
Требуется на основе модели ARIMA (0,1,1), оцененной в задании 6.5,
построить точечный прогноз исследуемого показателя на 3 периода вперед.
Задание 12.4
Имеются данные процесса контроля качества (см. табл. 6.5).
Требуется на основании модели ARIMA (1,1,1), оцененной в задании 6.6 п. 2, построить точечный прогноз исследуемого показателя на 3 периода вперед.
Задание 12.5
Имеется модель следующая модель GARCH(1,1):
vt |
0 |
1 |
t 1 |
1 |
vt 1 t |
|
|
|
|||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0,000193 0,49645 |
2 |
0,547980 |
2 |
|
. |
||||||
et 1 |
vt 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||
Требуется построить точечный прогноз условной дисперсии на 3 периода вперед, если последнее ее расчетное значение для базисного периода равно
0,7619, а остаток составляет 0,0707.
Задание 12.6
На основании информации, приведенной в табл. 12.1, оценены коэффициенты структурной формы системы взаимозависимых уравнений
Сt =41,4245+0,6216 Yt+ еt;
Yt = Сt + It.
Требуется:
1.Оценить коэффициенты прогнозной формы.
2.Рассчитать точечный прогноз валового национального продукта и потребления, если объем инвестиций равен 164,50.
3.Построить 95%-й совместный прогнозный интервал для эндогенных переменных.
4.Определить 95%-е прогнозные интервалы для отдельно взятых
эндогенных переменных.
|
|
|
Таблица 12.1 |
|
|
|
|
|
|
Перио |
Потребление, |
Валовый национальный |
Инвестиции, |
|
д |
Сt |
продукт, Yt |
It |
|
|
|
|
|
|
1 |
226,37 |
308,599 |
95,12 |
|
|
|
|
|
|
2 |
239,93 |
327,563 |
101,29 |
|
|
|
|
|
|
3 |
252,99 |
344,420 |
104,04 |
|
|
|
|
|
|
4 |
260,37 |
352,998 |
102,85 |
|
|
|
|
|
|
5 |
273,34 |
378,819 |
112,39 |
|
|
|
|
|
|
6 |
292,11 |
401,523 |
118,77 |
|
|
|
|
|
|
7 |
300,62 |
411,201 |
120,35 |
|
|
|
|
|
|
8 |
303,63 |
406,023 |
112,61 |
|
|
|
|
|
|
9 |
317,39 |
442,000 |
116,60 |
|
|
|
|
|
|
10 |
342,41 |
477,637 |
129,28 |
|
|
|
|
|
|
11 |
367,55 |
533,110 |
143,03 |
|
|
|
|
|
|
12 |
386,80 |
562,388 |
154,18 |
|
|
|
|
|
|
13 |
402,24 |
583,098 |
161,12 |
|
|
|
|
|
|
14 |
412,48 |
609,915 |
161,64 |
|
|
|
|
|
|
15 |
413,79 |
611,528 |
140,35 |
|
|
|
|
|
|
16 |
425,93 |
600,410 |
133,98 |
|
|
|
|
|
|
17 |
441,68 |
628,388 |
143,25 |
|
|
|
|
|
|
18 |
445,50 |
643,152 |
151,46 |
|
|
|
|
|
|
КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ adjusted R2 – скорректированный коэффициент детерминации autocorrelation function (ACF)– автокорреляционная функция
autoregressive conditional heteroscedasicity (ARCH) – авторегрессионная
модель с условной гетероскедастичностью
autoregressive model (AR) – авторегрессионная модель
autoregressive integrated moving average model (ARIMA) – интегрированная модель авторегрессии-скользящего среднего
best linear unbiesed estimator (BLUE) –лучшая (эффективная) оценка в классе линейных несмещенных оценок
binary variable – бинарная переменная, которая может принимать значения 0
и 1
Box-Jenkins model (ARIMA) – модель Бокса и Дженкинса, интегрированная модель авторегрессии-скользящего среднего
censored model – модель, основанная на цензурированной выборке,
зависимые переменные ограничиваются некоторым пороговым значением classical normal regression (CNR) – классическая регрессионная модель,
ошибки которой имеют совместное нормальное распределение classical regression (CR) – классическая регрессионная модель coefficient of determination (R-squared) – коэффициент детерминации conditional distribution – условное распределение
confidence interval – доверительный интервал consistent estimator – состоятельная оценка
convergence in distribution – конвергенция по распределению correlation – корреляция
correlation coefficient – коэффициент корреляции count data – счетные данные
covariance – ковариация
cross-section data – поперечные данные, показатели, характеризующие разные объекты в фиксированный момент времени