Эконометрика. Тихомиров

определяется выражением (12.11), а его ошибка уT+1 – выражением следующего вида:

где х0, T+1 1, х0,T+1 0.

Дисперсия такой ошибки определяется на основании известного выражения 2( уT+1)=M[ уT+1]2 с учетом некоторых дополнительных предположений, касающихся свойств ошибки модели. В случае ее

гомоскедастичности и отсутствия автокорреляционных связей, т. е. при2=const, Сov( )= 2 E, имеет место и независимость ошибок коэффициентов модели аi и ошибки T+1. Независимость ошибки прогнозного фона и ошибки T+1 практически очевидна.

В этом случае, возводя в квадрат правую часть выражения (12.28) и беря математическое ожидание от полученного выражения после несложных

вычислений, получим

где cov(хi,T+1, хj,T+1) – ковариация случайных i-го и j-го значений прогнозного фона; при i=j, cov(ai, aj)= 2(ai,); cov(хi,T+1, хj,T+1)= 2(хi,T+1); cov(ai, aj)=cov(aj, ai)

и cov(хi,T+1, хj,T+1)=cov(хj,T+1, хi,T+1); х0,T+1=0; 2(х0,T+1)=0; cov(хi0,T+1, хj,T+1)=0,

j=1,...,n.

При выводе выражения (12.29) также учтено, что математические

равенстве нулю математических ожиданий рассматриваемых ошибок и независимости ошибок аi, хj,T+1, j=1,...,n.

Для получения выражения, определяющего дисперсию прогноза yT 1 при

Далее, как и в разделе 12.2, выразим векторы оценок коэффициентов модели и их ошибки в векторно-матричной форме записи a=(X X)–1 X y,

a=(X X)–1 X , где – вектор истинной ошибки модели, X – матрица наблюдаемых значений независимых факторов, y – вектор наблюдаемых значений зависимой переменной на интервале (1,Т). Получим

уT+1=хT+1 (X X)–1 X + хT+1 (X X)–1 X y+ + хT+1 (X X)–1 X + T+1. (12.31)

Дисперсию ошибки прогноза с учетом оговоренных выше предположений о независимости и свойствах ошибок аi, хj,T+1, i,j=0,..., n; определим как математическое ожидание от квадрата этой ошибки

В предположении, что M[ ]= 2 E и независимости ошибок T+1 и t, t=1,..., Т имеем

В свою очередь, ошибка модели скользящего среднего первого порядка СС(1) учитывается только в прогнозе на один шаг вперед

Все следующие прогнозы на основе этой модели рассчитываются по одной и той же формуле:

Для АРСС(1,1) математическое ожидание прогноза на 1 шаг вперед представляется в следующем виде:

а на последующие моменты времени уже в виде

Из изложенного материала вытекает, что разработка прогнозов стационарных процессов, описываемых моделями временных рядов типа АРСС(k, m) для любого периода упреждения l основана на достаточно несложной итеративной процедуре расчета последовательных прогнозных значений уT(1), уT(2),..., уT(l) по построенному варианту модели.

Проблемы оценки дисперсий прогнозов.

Вместе с тем оценка дисперсий таких прогнозов представляет собой достаточно сложную проблему, корректное решение которой в аналитическом виде еще не получено. Раскроем суть этой проблемы с учетом

результатов, полученных в разделах 12.2 и 12.3. В соответствии с ними,

дисперсия прогноза l на точек вперед с использованием модели АРСС(k, m)

должна быть определена как математическое ожидание квадрата ошибки прогноза:

где символ х означает ошибку переменной х. В случае детерминированных величин (дисперсия равна нулю) их ошибка должна быть принята равной нулю.

Так, например, дисперсия прогноза процесса, разрабатываемого на один шаг вперед с помощью модели АРСС(1,1) в этом случае должна определяться на основе следующего выражения:

Дисперсия прогноза на два шага вперед в этом случае будет иметь следующий вид:

2 ( yT 2) M [yT 2 yT (l)]2 M{[(1 (a1 a1)) y

(a1 a1) ( yT (1) yT (1)) (b1 b1) T 1 ] [(1 a1) y a1 ( yT (1)]}2

M { a1 y a1 yT (1) a1 yT (1) a1 yT (1)

Теоретически, при известных дисперсиях оценок коэффициентов моделей АРСС(k, m), их взаимных ковариаций, а также дисперсий предыдущих прогнозных значений уT(l–r), r=1,2,... и дисперсий ошибки с помощью выражения (12.45) оценку дисперсии прогноза 2(уT+l) определить не слишком сложно, хотя ее математическое выражение и будет выглядеть достаточно громоздко. Однако следует иметь в виду, что, если с помощью рассмотренных в главе VI методов дисперсии (и ковариации) прогнозов уT+l–r,

ошибки , определить возможно, то дисперсии коэффициентов модели оценить можно лишь приблизительно и то, используя достаточно сложные методы. Это вызвано тем, что оценки моделей АРСС(k, m) определяются либо на основе выборочных значений коэффициентов автокорреляции рассматриваемых процессов (уравнения Юла-Уокера, нелинейные методы оценки коэффициентов скользящего среднего), либо с использованием нелинейных методов оценивания.

В первом случае дисперсии оценок ставятся в зависимость от показателей точности выборочных коэффициентов автокорреляции, которые к тому же сами определяются лишь приблизительно (см. главу VI). Так, например, если для модели АР(1) дисперсию параметра a1, равного r1, можно (с известной погрешностью) приблизительно считать равной 1/Т, 2(a1)= 2(r1)=1/Т, где r1

– первый выборочный коэффициент автокорреляции рассматриваемого процесса, то уже для модели АРСС(1,1) этот коэффициент равен a1=r2/r1 и

даже при известных дисперсиях оценок коэффициентов автокорреляции r1 и r2 показатель 2(a1) оценить достаточно сложно. При этом с увеличением размерности модели АРСС(р,q) проблема оценки дисперсий ее коэффициентов, а тем более их ковариаций значительно осложняется.

Из выражения (12.48) вытекает, что прогноз на один шаг вперед, т. е. на момент Т+1, является случайной величиной, определяемой следующим выражением:

Математическое ожидание этого прогноза имеет следующий вид:

Ошибка такого прогноза определяется как

При определении дисперсии прогноза различие между параметром 1 и его оценкой a1 во внимание не принимается. В результате имеем

Для момента Т+2 прогноз определяется по следующей схеме:

Из выражения (12.53) следует, что математическое ожидание этого прогноза имеет следующий вид:

yT (2) M [yT 2 / yT ] (1 a12 ) y a12 yT ,