Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5136 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Эконометрика. Тихомиров

.pdf
Скачиваний:
458
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
6.13 Mб
Скачать
☆

наиболее рациональную, “оптимальную” для объекта тенденцию развития процесса в прогнозном периоде. Такие прогнозы обычно называют нормативными.

При частично управляемых факторах, возможности регулирования развития процесса в прогнозный период являются ограниченными.

Например, из-за того что в моделях присутствуют факторы обеих групп.

Часто эти ограничения обусловлены имеющимися ресурсами (финансовыми,

трудовыми, сырьевыми и т. п.).

В случае управляемых и частично управляемых факторов заметим, что эконометрические модели предоставляют исследователю фактически всю информацию относительно границ управления (диапазонах изменения факторов), эффективности их использования в управлении. При этом,

показатель эффективности в некоторой степени может быть определен на основании значений коэффициентов эластичности переменной у по факторам

хi (в части определения реакции у на изменения хi).

Другие составляющие эффективности (стоимость затрат на реализацию управления, результаты, выгоды, к которым оно приводит) выявляются на основе экономического анализа рассматриваемой проблемы.

В связи с проблемой управления также заметим, что эконометрические модели достаточно часто используются в разработках так называемых

“прогнозов-предупреждений”. Результаты таких прогнозов являются нежелательными для объекта и реакция системы управления в этом случае состоит в определении мер, способных внести необходимые коррективы в тенденции развития процесса уt в рассматриваемый период. Эти меры в данном случае выражаются в виде необходимых приростов независимых управляемых факторов.

Одной из важнейших характеристик качества прогноза является величина его доверительного интервала. Очевидно, что при прочих равных условиях чем уже этот интервал, тем более обоснованным представляется и сам прогноз, и мероприятия по управлению рассматриваемым процессом.

В общем случае можно указать на два взаимодополняющих подхода к оценке доверительного интервала прогноза – эвристический и формальный.

По своей сути эвристический подход предполагает расчет размера доверительного интервала как разницы между двумя возможными

“экстремальными” значениями прогнозов переменной у, полученными при подстановке в уравнение эконометрической модели определяющих их

“экстремальных” значений факторов. Часто такие значения и соответствующие им прогнозы называют “пессимистическим” и

“оптимистическим”:

 

f (a, xопт ),

 

f (a, xпесс ),

где хопт и хпесс –

уопт

у песс

оптимистические и пессимистические значения независимых факторов.

Тогда ширина доверительного интервала прогноза определяется как разность

уопт–упесс. Заметим, что рассчитанный таким образом “эвристический” доверительный интервал в большей степени характеризует возможный разброс прогнозируемого значения процесса в зависимости от разброса прогнозного фона, в свою очередь вызванного неопределенностью оценок его значений в перспективе.

Формальный подход к оценке ширины доверительного интервала прогноза предполагает расчет этой характеристики с использованием методов математической статистики. Для этого необходимо оценить дисперсию ошибки прогноза.

В общем случае ошибка эконометрического прогноза может быть определена как разность между фактическим значением рассматриваемого показателя уT+k в некоторый момент времени Т+k в будущем, которое,

вообще говоря, неизвестно, и его значением

 

 

 

y

T k

,

 

 

yT k

k=1,2,...;

 

 

yT k yT k .

(12.6)

При этом предполагается, что ошибка прогноза обладает следующими двумя свойствами:

yT k

 

1) несмещенности, т. е.

T k

T k

 

T k

 

что означает, что прогноз

 

 

 

M [ y

] M [y

 

y

 

] 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T k

является несмещенной оценкой истинного значения уT+k;

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

эффективности, т.

е. дисперсия

ошибки

2

T k

 

T k

2

 

 

2

 

T k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y

) M [

 

 

 

( y

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

]

 

 

 

является минимальной среди дисперсий всех других возможных прогнозов,

построенных с использованием данного эконометрического уравнения.

Далее, в предположении,

что ошибка прогноза

 

T k

распределена согласно

y

 

 

 

 

 

 

 

 

нормальному закону N(0,

2

(

T k

)

), доверительный интервал для истинного

значения прогноза может быть определен согласно следующему известному выражению:

 

 

 

 

 

yT k

* ( yT k ) yT k

yT k

* ( yT k ),

(12.7)

где * – табличная константа, полученная для стандартизованного нормального распределения N(0,1) при заданном уровне доверительной вероятности p*. Напомним, например, для p*=0,95 *=1,96.

Таким образом, при определении ширины доверительного интервала эконометрического прогноза с использованием формального подхода основной проблемой является оценка дисперсии рассчитанного прогнозного

значения рассматриваемого процесса.

В общем случае такая оценка может быть получена, основываясь на информации, характеризующей степень неопределенности как в инструментарии прогнозирования (модели), так и в исходных данных – прогнозном фоне. Эта неопределенность обычно выражается характеристиками соответствующих ошибок. Так, неопределенность модели определяется ошибками ее параметров, характеристики которых заданы в виде их ковариационной матрицы – Cov(a)).

В отношении прогнозного фона на практике обычно рассматривают два возможных варианта его неопределенности. Согласно первому из них

прогнозный фон рассматривается как набор детерминированных показателей, т. е. предполагается, что значения независимых переменных определены точно с нулевой ошибкой. Такая ситуация возможна при разработке некоторых безусловных прогнозов, например, на основе моделей с лаговыми зависимыми переменными (см. выражение (12.5)). Однако в большинстве случаев прогнозный фон нельзя считать детерминированным. В

самом деле, для моделей авторегрессии (выражения (12.3) и (12.4)), в

частности, детерминированный эндогенный прогнозный фон имеет место

только при разработке прогноза на момент Т+1. Значение

 

T 1

 

используемое

y

,

 

 

 

 

 

 

 

в расчете следующего прогнозного значения

 

T 2

 

уже

определено на

y

,

 

 

 

 

 

 

 

основании выражения (12.3) с ошибкой.

Аналогично нет никаких гарантий, что и при экзогенном прогнозном фоне значения факторов хi,T+k, i=1,2,..., n; k=1,2,..., относящиеся к будущим моментам времени, определены абсолютно точно. Обычно эти значения также получают в ходе каких-либо прогнозных исследований (например, с

использованием методов экспертного прогнозирования). В таких случаях обычно оцениваются и соответствующие характеристики ошибки их прогнозов.

Прогнозный фон с известной ошибкой называют случайным. Рассмотрим особенности методов оценки дисперсий прогнозных значений зависимой переменной при детерминированном и случайном прогнозном фоне более подробно.

12.2. Методы оценки дисперсии прогноза при детерминированном

прогнозном фоне

Рассмотрим, не прибегая к излишней математической строгости, сначала

общий подход к оценке дисперсии прогноза yT 1 . Без ограничения общности

предположим, что прогнозы

 

 

 

 

 

получены с использованием

y

T 1

, y

T 2

,...

 

 

 

 

 

линейной эконометрической модели, ошибка которой характеризуется отсутствием автокорреляционных связей.

В соответствии с процедурой разработки эконометрического прогноза,

рассматриваемое прогнозное значение зависимой переменной у, например, в

момент времени Т+1, можно представить как случайную величину,

определяемую по линейной модели типа (1.2) с учетом того факта, что ее параметры являются случайными величинами, а значения независимых

факторов хi, T+1, i=1,2,..., n; – детерминированные величины:

yT 1 0 1 x 1,T 1 ... n x n,T 1 T 1,

(12.8)

где i, i=0,1,..., n – коэффициенты эконометрической модели,

рассматриваемые как случайные величины; T+1 – случайная ошибка модели в момент Т+1. Представим коэффициенты модели i в виде суммы их соответствующих оценок, являющихся математическими ожиданиями, и

ошибок

i ai ai ,

(12.9)

где математическое ожидание аi определено согласно используемому методу, например, МНК (см. выражение (2.8)), а характеристики ошибок аi

определены как элементы вектора а=(X X)-1X (см. выражение (2.9)).

Подставим выражение (12.9) в (12.8). В результате получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

T 1

y

T

1

y

T 1

,

(12.10)

 

 

 

 

 

 

где показатель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

a1 x 1,T 1 ... an x n,T 1

 

yT 1

(12.11)

представляет собой математическое ожидание прогноза, а показатель

y

a

a

x

1,T 1

... a

x

n,T 1

+

T +1

(12.12)

T 1

0

1

 

n

 

 

 

характеризует ошибку прогноза.

Ее дисперсия может быть определена согласно классическому выражению

 

2

( y

) M [y

 

 

T

 

 

 

T 1

модели T+1 образом:

 

 

 

]

M [ y

]

 

 

y

 

 

 

 

 

2

 

2

в предположении о

1

 

T 1

 

 

T 1

и ошибок коэффициентов модели аi,

независимости ошибки

i=0,1,..., n; следующим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M [ y

 

]

M [ a a

x

 

... a

x

 

+

] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T 1

 

 

 

0

 

1

 

1,T 1

n

 

n,T 1

 

T +1

n

 

2

 

x

2

 

 

) x

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

+ cov(a

, a

 

 

,

 

 

 

(12.13)

 

 

 

 

 

 

a

 

i,T 1

i,T 1

j,T 1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

j

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

i j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

2

– оценка дисперсии ошибки модели

 

 

 

;

a

– дисперсия оценки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T 1

i

 

 

 

 

 

аi, а cov(аi,

аj) – ковариация оценок параметров аi

и аj. Их значения

определены как элементы ковариационной матрицы e2(Х Х)–1; х0,T+1 1 (см.

выражение (2.18)).

Еще раз отметим, что выражение (12.13) получено в предположении о независимости ошибки модели T+1 в момент Т+1 и ошибок коэффициентов

аi, которые согласно выражению (2.9) являются линейными функциями выборочных ошибок модели t, t=1, 2,..., Т.

Выражение (12.13) может быть представлено в матричной форме записи

следующим образом:

 

2

( yT 1) xT 1

' Cov(a) xT 1

2

2

xT 1

2

 

 

 

e

' ( X' X) xT 1 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

( xT 1 ' ( X ' X ) xT 1

e

1),

(12.14)

где хT+1=(1, х1,T+1,..., хn,T+1) – вектор-строка детерминированных уровней прогнозного фона, представляющего собой набор значений независимых

факторов в моменты Т+1.

Приведем также несколько более строгое доказательство выражения

(12.14). Для этого запишем расчетное значение прогноза форме:

yT 1 xT 1' a.

 

 

y

T 1

 

в векторной

(12.15)

Аналогично представим истинное значение прогноза уT+1

y

T 1

 

xT 1

' a

T 1

,

 

 

 

 

 

(12.16)

где – вектор-столбец значений параметров модели; T+1 – значение ошибки истинного прогноза.

С учетом представленных выражений ошибку прогноза согласно (12.6)

выразим в следующем виде:

уT+1=уT+1–

 

T 1

= T+1+хT+1 –хT+1 a=

 

y

 

 

 

 

 

= T+1+хT+1 –хT+1 (X X)–1 X y.

(12.17)

Подставляя в (12.17) вместо вектора наблюдаемых значений зависимой

переменной y его выражение y=X + , получим

 

уТ+1= T+1+хT+1 –хT+1 (X X)–1 X (X + )=

 

= T+1+хT+1 – хT+1 – хT+1 (X X)–1 X =

 

= T+1– хT+1 (X X)–1 X .

(12.18)

С учетом (12.18) дисперсия ошибки прогноза следующим выражением:

 

 

y

T 1

 

определяется

2( yT 1 )=M[ y2T+1] = M[ 2T+1]–2 хT+1 (X X)–1 X M[ T+1 ]+

+ хT+1(X X)–1 X M[ ]X(X X)–1 хT+1.

(12.19)

При справедливости предположений о независимости ошибки T+1 и

вектора ошибок модели , гомоскедастичности и отсутствии автокорреляционных связей у вектора ошибки модели имеем

M[T+1]=0;

M[ ]= 2 E.

В этом случае с учетом того, что M[2T+1]= 2 легко показать, что выражение (12.19) преобразуется в выражение (12.14), с учетом замены 2 на

e2.

Заметим, что выражение (12.19) определяет все случаи, отражающие возможные свойства ошибки эконометрической модели. В частности, когда у этой ошибки имеются автокорреляционные связи, например, первого порядка, т. е. t=t–1 +vt, vt N(0, v2), Cov(v)=v2 E выражение (12.19)

приобретает следующий вид:

2(

 

 

y

T

 

1 )= 2–2 2 хT+1(X X)–1 X R+

 

+хT+1(X X)–1 X Cov( ) X(X X)–1 хT+1,

(12.20)

где вектор-столбец R=[ , 2, 3,..., T+1] ;

 

 

1

 

2 ...

T 1

2

 

 

1

...

T 2

Cov(e)

...

 

 

,

 

 

... ... ... ...

 

 

T 1

T 2

... ...

1

где – коэффициент автокорреляции первого порядка.

 

 

y

T

 

Заметим также, что для такой модели математическое ожидание прогноза

1

=M[yT+1] имеет следующий вид:

M[yT+1]= M[хT+1 + T+1]= M[хT+1 + T +vT]= хT+1 + T. (12.21)

Выражая ошибку модели в момент Т T через ее оценку еT

T =еT – хT а

(12.22)

и подставляя выражение (12.22) в (12.21), с учетом замены коэффициента на его выборочное значение r и вектора на вектор a на практике получим

 

 

y

T

 

1

= r yT+(хT+1 – хT ) a.

(12.23)

Несложно показать, что в этом случае расчетное значение прогноза в момент Т+k будет определяться следующим выражением:

 

 

y

T k

 

=хT+k a+ rk eT.

(12.24)

При наличии у ошибки модели только свойства гетероскедастичности выражение (12.19) приобретает следующий вид:

 

(

 

T 1 )=

+хT+1 (X X)

X Cov( ) X (X X)

хT+1,

2

 

y

2

–1

–1

 

 

 

 

 

 

 

где

 

12

0

2

 

22

Cov( )

,

 

 

...

 

0

T2

(12.25)

аt2 – дисперсия ошибки модели в момент t.

12.3.Методы оценки дисперсии прогноза при случайном прогнозном

фоне

При случайном прогнозном фоне обычно предполагается, что значения независимых факторов в будущие моменты времени T+k являются случайными величинами, которые можно представить в виде суммы их математических ожиданий и случайных ошибок

~

(12.26)

x i,T k x i,T k x i,T k ; i 0,1,..., n.

При этом дисперсии и ковариации ошибок хi,T+1, хj,T+1, в общем случае предполагаются известными, и математические ожидания ошибок

M[ хi,T+1]=0; i, j=1,...,n; 2(х0)=M[ х0]=0 в силу тождества х0 1.

Тогда, например, для момента Т+1 истинное значение прогноза

определяется следующим выражением:

yT 1

0

 

 

~

 

 

 

 

 

~

 

 

T

1

 

 

 

 

 

1 x 1,T 1 ...

n x n,T 1

 

 

 

 

 

(

a0

 

) (

a1

 

) (

x1,T 1

 

 

) ...

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

a1

 

 

 

 

x1,T 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

an

 

) (

x n,T 1

 

 

)

T 1

.

(12.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

x n,T 1

 

 

Далее обычно выдвигается вполне реалистическое предположение о независимости ошибок оценок параметров модели аi и соответствующего прогнозного фона хi,T+1. Их независимость, в частности, является следствием того, что параметры модели и прогнозный фон обычно определяются в ходе разных, не связанных между собой исследований.

После раскрытия скобок в выражении (12.27) несложно заметить, что

расчетное прогнозное значение yT 1 (математическое ожидание процесса)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности