Эконометрика. Тихомиров

Обозначив уt–ft0=gt0, сформируем вектор-столбец g0=(g10,...,gЕ0) с Т

размера T (п+1).

Из приростов ai(1) сформируем вектор-столбец a(1)=( a0(1),..., aп(1)) .

Несложно заметить, что с учетом этих обозначений систему (11.20) можно представить в следующем виде:

Из (11.22), в сою очередь, вытекает, что оценки приростов параметров a(1)

на первом шаге расчетов находятся из векторно-матричного выражения,

имеющего характерный вид:

3. Определив на основе полученных приростов ai(1), i=0,1,...,п оценки параметров эконометрической модели ai1=ai0+ ai1, проделаем ту же процедуру расчетов для получения новых приближений этих оценок.

где S02=S2(a0, х) – значение суммы квадратов ошибки модели в точке

по параметру ai в точке a0; ai – ai0 – прирост i-го параметра.

Координаты вектора – S2(a0, х), сформированного на основании

составляющих правой части выражения (11.25) как

определяют направление наискорейшего спуска (направление оптимального движения к точке минимума S2(a, х) по оценкам параметров эконометрической модели).

Прямое использование выражения (11.26) при определении

“оптимальных” оценок a0, a1,..., aп, минимизирующих сумму квадратов ошибок модели, лежит в основе метода наискорейшего спуска. Согласно этому методу оптимальные оценки находятся на основе итеративной процедуры расчетов последовательности таких оценок a0, a1,..., aj, в которой каждая следующая оценка лежит на направлении наискорейшего спуска,

определенного в предыдущей точке.

Направление движения, например, из начальной точки a0 указывает единичный вектор, определяемый следующим выражением:

основе лежат два следующих замечания. Во-первых, вектор приростов параметров на j-м шаге расчетов по методу наискорейшего спуска можно представить в следующем виде:

Во-вторых, заметим, что производные функции S2(a(j–1)) по своим

где zi(j–1) – i-я компонента вектора Хj–1 gj–1, полученная на j-м шаге расчетов.

С учетом (11.29) вектор приростов параметров на j-м шаге расчетов находится как

Сопоставим выражения (11.22) и (11.31). Получим

Макуардт объединил оба выражения из (11.32) в одно:

где Е – единичная матрица, и предложил выбирать множитель (j),

регулирующий длину прироста параметров j-м шаге расчетов, исходя из свойств функции S2(a(j –1)). Логика такого выбора определяется следующими

(j) должно быть выбрано достаточно большим и в этом случае приросты

параметров в большей степени соответствуют их оценкам, полученным по

Зайделя, значение (j) выбирается относительно небольшим. Промежуточные значения (j) характеризуют направление движения к минимуму, полученное как комбинация направлений, определенных с помощью методов Гаусса-

Зайделя и наискорейшего спуска.

В окрестности минимума метод Макуардта, как и другие методы,

уменьшает длину прироста параметров.

Заметим, что методы, основанные на линеаризации суммы квадратов ошибки эконометрической модели, также как и другие итеративные методы поиска оптимальных оценок ее параметров, могут привести к решению,

соответствующему локальному оптимуму. Для определения глобального минимума необходимо, как и в случае других методов, решить задачу оценки с использованием разных вариантов исходных точек a0, соответствующих разным участкам допустимой области существования искомых значений параметров.

11.5. Качественные характеристики оценок параметров нелинейных

эконометрических моделей

Помимо определения точечных значений оценок параметров нелинейных эконометрических моделей в эконометрических исследованиях большое внимание уделяется и поиску их интервальных характеристик, по величине которых можно судить о качестве построенного варианта эконометрической модели. Напомним, что совокупность интервальных характеристик параметров линейных эконометрических моделей можно определить на основе элементов ковариационной матрицы их оценок, определенных для независимых и гомоскедастичных ошибок выражением (2.18)

Cov(a)= 2 (X X)–1,

где Х – матрица значений независимых параметров.

Для нелинейной эконометрической модели в аналитическом виде получить аналог выражению (2.18) не представляется возможным. Однако можно определить некоторое приближение ковариационной матрицы оптимальных оценок параметров модели в области минимума суммы квадратов ошибки.

Для этого разложим нелинейный функционал модели в окрестности точки оптимума параметров a* в ряд Тейлора. В результате в соответствии с выражениями (11.19)–(11.23) получим

где f* – вектор расчетных значений функционала f( , х) в точке параметров a*, принадлежащей окрестности оптимума; Х* – матрица производных ft

/ ai, определенная согласно выражению (11.21) в точке a*, – ошибка разложения.

Перепишем выражение (11.34) в следующем виде:

Несложно заметить, что все компоненты вектора g в точке a* известны. Из этого вытекает, что в окрестности оптимума нелинейная эконометрическая модель может быть представлена в линейной форме записи (11.35).

В соответствии с этим, согласно выражению (2.18), ковариационная матрица оптимальных оценок параметров модели a может быть представлена в следующем приближенном виде:

Приближенный характер матрицы Cov(a) обусловлен использованием аппроксимирующего приближения Тейлора для нелинейной модели и соответствующей ему точки a* из окрестности оптимума (а также матрицы

что найденные оценки a при Т являются приблизительно состоятельными, а их распределение является асимптотически нормальным

Вопросы к главе XI

1. Каковы причины нелинеаризуемости моделей?

Требуется записать “псевдолинейную” модель.

Задание 11.4

Имеется нелинейная однофакторная регрессионная модель

yt xt t ,

где t~(0, 2).

Требуется:

1.Вывести рекурсивные формулы для алгоритма Ньютона-Рафсона.

2.Показать, что выполняется следующее равенство:

T

M[d 2 S / d 2] 2 [df ( xt , ) / d ]2 2 z( )' z( ),

t 1

где S – сумма квадратов остатков.

Задание 11.5

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

yt f ( xt , ) t ,

где t~(0, 2).