Эконометрика. Тихомиров

Задание 10.5

Среди 48 респондентов был проведен опрос о среднемесячных затратах на

табачные изделия. Полученные результаты представлены в табл. 10.2.

2. Определить по усеченным на уровне 0 данным МНК-оценку параметра

Tobit-модели.

Задание 10.61

В1973 году в г. Трое (штат Мичиган) проводился референдум по вопросу

овведении местного школьного налога. В ходе опроса были выявлялись определенные характеристики участников референдума (см. табл. 10.3).

1 Pindyck R., Rubinfeld D. Econometric models and economic forecasts,1997. C. 331–333.

Попытаемся использовать при определении оценок a0, a1, a2 ее параметров

0, 1, 2 метод наименьших квадратов при условии, что значения переменных уt, х1t и х2t, t=1, 2,..., Т известны. Сумма квадратов ненаблюдаемых значений ошибки еt, t=1, 2,..., Т; в данном случае может быть представлена в следующем виде:

В соответствии с выбранным критерием искомые значения оценок a0, a1, a2 должны удовлетворять условию минимума функции S2, что приводит к

определено выражением (11.2), представим эти уравнения в виде следующей системы (аналога системы нормальных уравнений):

Несложно заметить, что уравнения системы (11.3) являются нелинейными относительно неизвестных значений a0, a1 и a2. При этом нелинейность в данном случае усугубляется необходимостью суммирования сложных функций, выраженных отношениями и квадратами зависимой и независимой

переменных модели. Решение системы (11.3) можно получить, только используя достаточно сложные итеративные процедуры нахождения ее корней. При этом следует заметить, что для другой формы эконометрической зависимости, отличной от выражения (11.1) будет получена и другая,

отличная от вида (11.3) система нелинейных уравнений. Для ее решения возможно придется применять и другую процедуру, учитывающую специфические особенности формы ее уравнений.

Процедура решения таких систем еще более усложняется, если в левой части эконометрической модели стоит не просто переменная уt, а некоторая ее функция g(уt, ), зависящая от некоторого набора параметров 1, 2, ..., k.

заметим, что сумма квадратов ошибки эконометрической модели

при произвольно выбранных значениях оценок ее параметров bk, k=0,1..., aj, j=0,1... может быть представлена в следующем виде:

где ft( , x)=ft( 0, 1,..., x1t,..., xnt* ) – нелинейный относительно коэффициентовj и возможно независимых переменных функционал, j=0,1,..., i=1,2,..., n; t –

ошибка модели; a=(a0, a1,...); b=(b0, b1,...) – векторы оценок параметров модели (11.4); x – вектор значений независимых переменных,

соответствующих значению уt.

В этом случае система нормальных уравнений, решениями которой являются “оптимальные” по МНК оценки, должна включать в себя и уравнения типа:

* В модели (11.4) в общем случае значение независимой переменной xi не обязательно должно соответствовать моменту t.

S 2 0, k 0,1,...

bk

Аналогичные проблемы возникают и при получении оценок параметров нелинейных эконометрических моделей с использованием метода максимального правдоподобия. Заметим, что при использовании этого метода предполагаются известными тип закона распределения ошибки модели t и возможно некоторые его параметры (как правило,

математическое ожидание равное нулю).

Как это было отмечено в главе II, обычно на практике закон распределения ошибки предполагается нормальным. В этом случае при обычном для нелинейных моделей предположении относительно независимости разновременных значений ошибки функция плотности наблюдаемой зависимой переменной уt в момент времени t может быть представлена в следующем виде:

где выражение

является якобианом преобразования; 2= 2 – дисперсия ошибки модели

(11.4).

Как было отмечено в разделе 2.5, оптимальные оценки a параметров модели (11.4) должны обеспечивать максимум логарифма функции правдоподобия, который в данном случае имеет следующий вид:

Уравнения максимального правдоподобия относительно неизвестных оценок параметров модели (11.4) и ее дисперсии 2 в данном случае имеют

следующий вид:

Анализируя вид уравнений системы (11.9), можно сделать два вывода.

Во-первых, система уравнений максимального правдоподобия нелинейной эконометрической модели, содержащей в левой части нелинейную функцию зависимой переменной g(уt, ), отлична от соответствующей системы уравнений максимального правдоподобия модели, в новой части которой находятся просто значения зависимой переменной уt. Это отличие обусловлено необходимостью учета якобиана в первом уравнении системы

(11.9).

В этом несложно убедиться, рассмотрев систему нормальных уравнений для критерия минимума выражения (11.5). Она в общем случае будет иметь следующий вид: