Глава 01 Системы линейн уравн

ми6, а остальные n r неизвестных называются свободными. Пола-

гая в системе (1.29)

В итоге мы пришли к следующему результату:

если r n, система уравнений имеет бесконечно много решений.

c) Наконец, если в процедуре прямого хода метода Гаусса мы получим строку, в которой все элементы ij 0, а элемент

i 0, т.е. строку вида (0 0 0 0 | i ), где i 0, то метод Гаусса прекращают и делают вывод – система несовместна.

6 В качестве базисных можно было бы выбрать любые r неизвестных, для которых определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

При исследовании систем линейных уравнений на совмест-

ность и при решении целого ряда прикладных задач важное значе-

ние имеет понятие ранга матрицы.

Определение 1.17. Рангом матрицы называется число, равное наи-

большему из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы обозначим символом r(A).

Следующая теорема, которую мы приводим без доказатель-

ства, позволяет предложить наиболее простой способ вычисления ранга матрицы.

Теорема 1.5. Ранг матрицы не изменяется при элементарных пре-

образованиях матрицы.

С учетом этого утверждения мы можем считать7, что ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы после ее приведе-

ния к треугольному или трапециевидному виду.

Еще одна теорема, которая в общем виде описывает крите-

рий совместности системы линейных уравнений, приводится также без доказательства.

Теорема 1.6 (Кронекер-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. r(A) r(A).

7 Выделенные ниже курсивом слова могут также служить определением ранга матрицы.

Теперь, используя теорему Кронекера-Капелли и выводы,

полученные при решении систем методом Гаусса, мы можем сфор-

мулировать основные результаты, касающиеся совместности и числа

r(A) r(A) n.

Однородные системы линейных уравнений

Однородной называется система линейных уравнений, в ко-

торой равны нулю все свободные члены:

am1x1 am2 x2 amn xn 0.

Нетрудно заметить, что любая однородная система всегда совместна, поскольку числа x1 x2 xn 0 образуют реше-

ние системы. Такое решение называется нулевым или тривиальным.

Однако в большинстве прикладных задач приходится выяснять, су-

60 Глава 1. Системы линейных уравнений

ществует ли нетривиальное (ненулевое) решение системы, т.е. такое решение, в котором хотя бы одна из неизвестных xi была бы от-

лична от нуля. Понятно, что существование нетривиального реше-

ния должно каким-то образом зависеть от ранга матрицы системы, а

так как в любой однородной системе линейных уравнений ранг мат-

рицы системы r(A) всегда равен рангу расширенной матрицы, мы,

с учетом выводов предыдущего раздела, приходим к следующим утверждениям:

однородная система линейных уравнений имеет единст-

венное (тривиальное) решение тогда и только тогда, ко-

гда ранг матрицы системы равен числу неизвестных, r(A) n;

однородная система имеет хотя бы одно нетривиальное решение (а на самом деле, бесконечное множество не-

тривиальных решений) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных r(A) n;

если число уравнений однородной системы меньше числа неизвестных (m n), то система имеет нетривиаль-

ные решения;

если число уравнений однородной системы равно числу неизвестных (m n), то нетривиальные решения суще-

ствуют тогда и только тогда, когда определитель системы 0.

x1 x4 3x3 2x2 1 3 4.

Система имеет единственное решение (4; 0; 1;1).

ные, получим:

x2 1 3x3 4x4 6x5 1 3c1 4c2 6c3 ,

x1 2 4x2 2x3 3x5 2 4(1 3c1 4c2 6c3) 2c1 3c32 14c1 16c2 27c3 .

В итоге система имеет бесконечное множество решений:

Отметим, что расширенная матрица еще не приведена к трапецие-

видному виду, поэтому необходимо поменять местами, например,

второй и пятый столбцы (сверху мы отмечаем, как переставлены неизвестные системы):

В результате общее решение однородной системы можно записать в матричном виде:

Выбирая, например, в качестве произвольных постоянных значения c1 1, c2 2, c3 0, получим одно из нетривиальных решений

системы 0, 0,1, 2, 3 .

Пример 1.23. Найти все значения параметра p , при которых одно-

родная система линейных уравнений

2x1 x2 px3 0,x1 x2 2x3 0,

3x1 2x2 x3 0,

имеет ненулевые решения.

Поскольку число уравнений системы и количество неизвест-

ных совпадают, система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю: