Глава 01 Системы линейн уравн

7

Глава 1

Системы линейных уравнений

1.1Матрицы. Действия с матрицами

Основные понятия

Матрицей размера m nназывают прямоугольную таблицу,

содержащую mстрок и nстолбцов. Элементы таких таблиц могут иметь произвольную природу, но в этой главе мы будем считать, что элементами матриц являются действительные числа. Строки и столбцы матрицы последовательно нумеруются, и элемент матрицы,

расположенный на пересечении i-ой строки и j -го столбца, обо-

значается символом aij . Сами матрицы обычно обозначают заглав-

ными буквами латинского алфавита.

Пример 1.1.

В общем случае матрица размера m n имеет следующий вид:

Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов

(m n), то матрицу называют квадратной и говорят, что квадрат-

ная матрица имеет порядок n.

Элементы a11 , a22 , , ann называются диагональными и

образуют главную диагональ квадратной матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элемен-

ты, расположенные ниже (выше) главной диагонали. Квадратная

матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элемен-

ты, расположенные вне главной диагонали.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элемен-

ты равны единице, называется единичной и обозначается буквой E .

Например,

Мы уже отмечали, что матрица, все элементы которой равны нулю,

называется нулевой. Обозначается такая матрица символом O.

Действия с матрицами

Определение 1.1. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковый размер и равны все соответствующие эле-

менты этих матриц:

мера m n называется матрица C того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B :

cij aij bij , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n.

дений соответствующих элементов i-ой строки матрицы A и j -го столбца матрицы B :

n

cij aisbsj . s 1

То есть, если

то

cij ai1b1j ai2b2 j ainbnj ,

и матрица C имеет столько же строк, сколько матрица A, и столько же столбцов, сколько матрица B .

Правило умножения матриц иногда формулируется следую-

щим образом: чтобы получить элемент cij произведения двух мат-

риц, необходимо элементы i-ой строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j -го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

Свойства операций

Алгебраические операции с матрицами обладают следую-

Здесь символами A, B , C обозначены матрицы соответст-

вующих размеров, O – нулевая матрица, и – произвольные

действительные числа.

Замечание. Умножение матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.

Во-первых, если определено произведение AB , то вовсе не обязательно будет определено произведение BA. Так, например, для матриц

произведение AB определено. В то же время произведение BA не определено, поскольку число столбцов матрицы B больше числа строк матрицы A.

Во-вторых, даже если матрицы A и B являются квадратными одного и того же порядка, то все равно в общем случае

AB BA.

Для любой квадратной матрицы порядка n и единичной матрицы порядка n справедливы равенства:

AE EA A.

Если матрица A имеет размер m n, а матрица E – квадратная матрица, то будет выполняться только одно из перечисленных выше равенств AE A, когда порядок E равен n, или EA A, когда порядок E равен m, например,

(в этом случае произведение EA не определено). Рассмотрим произвольную матрицу размера m n:

A .

Определение 1.5. Транспонированной (по отношению к A) матри-

цей называется матрица AT размера n m:

16 Глава 1. Системы линейных уравнений

Матричная форма записи системы линейных уравнений

Рассмотрим произвольную матрицу A размера m n:

и матрицы-столбцы X и B размеров n 1 и m 1 соответственно