Глава 04 Линейные пространства

149

Глава4

ЛИНЕЙНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

4.1Линейное пространство

иего реализации

Определение линейного пространства

Впредыдущей главе Вы познакомились со свойствами геометри-

ческих векторов и возможными операциями над векторами. В этой главе мы будем обсуждать свойства векторов1 с более общей точки зрения.

В общем случае вектором называют элемент линейного про-

странства, а само это пространство вводят с помощью системы ак-

сиом.

Пусть задано некоторое множество Vобъектов (которые в даль-

нейшем мы назовем векторами, хотя природа этих объектов может быть произвольной). На множестве V введем две операции:

1 Уже не только геометрических векторов, но в том числе и геометрических.

2)умножение элемента a V на любое действительное чис-

ло R так, что c a V .

Определение 4.1. Множество V с заданными операциями сложения элементов и умножения элементов на любое действительное число называют линейным (или векторным) пространством над полем действительных чисел (или вещественным векторным пространст-

вом), если выполняется следующая система аксиом2:

2 В аксиомах линейного пространства символом обозначен квантор всеобщности, который заменяет собой слова «любой», «для любого», «для каждого».

Замечание. В нашем определении участвует поле действительных чисел. В общем случае можно заменить это поле любым другим по-

лем K (тогда говорят о векторном пространстве над K ), напри-

мер, вместо R можно использовать поле рациональных или поле комплексных чисел.

В дальнейшем линейное пространство (векторное простран-

ство) мы часто, для краткости, будем называть линеалом.

Примеры линейных пространств

Пример 4.1. Само поле действительных чисел можно рассматривать как простейший пример линейного пространства. Здесь V R ,

сумма двух векторов — это сумма двух действительных чисел, ум-

ножение вектора на число — это обычное умножение в R .

Точно так же линейным пространством является множество Q

рациональных чисел над полем Q с естественными операциями сложения и умножения на рациональное число.

Пример 4.2. Множество геометрических векторов на прямой с есте-

ственными операциями сложения и умножения на действительное число является примером простейшего векторного пространства.

Помимо этого пространства можно выделить векторное простран-

ство геометрических векторов, расположенных в некоторой плоско-

сти, или линеал всех геометрических векторов трехмерного про-

странства. О таких пространствах речь шла во второй главе нашего курса лекций.

Пример 4.3. Множество всевозможных многочленов степени не

выше n от одной переменной образует линейное пространство над

R . В самом деле, для векторов

a a0 a1x a2 x2 ... an xn и b b0 b1x b2 x2 ... bn xn

определим сумму векторов и произведение вектора на число обыч-

ными равенствами:

a b a0 b0 (a1 b1 )x (a2 b2 )x2 ... (an bn )xn ,a a0 a1x a2 x2 ... an xn .

Очевидно, при таком определении выполняются все аксиомы ли-

нейного пространства. При этом нулевой вектор соответствует мно-

гочлену o 0 0x 0x2 ... 0xn , а вектор, противоположный вектору a , имеет вид

a a0 a1x a2 x2 ... an xn .

Отметим, что множество всех многочленов степени n (имеется в виду, что степень точно равна n) не является линейным простран-

ством над R .

Пример 4.4. Обозначим через X любое подмножество множества действительных чисел X R , а через F(X)— множество всех вещественнозначных функций, определенных на X . Сумму двух элементов f ,g F(X) и произведение f функции на число оп-

ределим «поточечно» обычными равенствами:

(f g)(x) f (x) g(x),

x X.

( f )(x) f (x),

При таком определении нулевой элемент (вектор) — это функция,

которая равняется нулю во всех точках X , а элемент, противопо-

ложный вектору3 f , задается в каждой точке множества X ра-

венством f f (x). Нетрудно заметить, что все аксиомы линей-

ного пространства выполняются, и поэтому F(X) является линеа-

лом.

Аналогично линейное пространство над R образует множество

C a,b всех непрерывных на заданном отрезке a,b функций, а

также множество Ck a,b всех функций, имеющих на интервале

a,b производные порядка k .

Примеры перечисленных «функциональных» линейных про-

странств показывают, что в современном математическом анализе понятие линейного пространства играет не меньшую роль, чем в геометрии.

Пример 4.5. Рассмотрим множество Mm n (R)всех матриц размера m n с элементами из поля действительных чисел. Сумму двух мат-

риц и умножение матрицы на любое действительное число опреде-

лим равенствами:

3 На самом деле, здесь следовало бы использовать запись f и g , однако в

тех случаях, когда элементами линейного пространства являются функции или, например, матрицы, символ черты над элементом опускают.

Нетрудно заметить, что при таком определении выполняются все аксиомы линейного пространства. Попробуйте самостоятельно отве-

тить на следующие вопросы:

▪ какой объект линейного пространства Mm n (R)выступает в роли нулевого элемента?

являются всевозможные конечные последовательности из nдейст-

вительных чисел. Произвольный элемент пространства Rn будем записывать в виде a (a1,a2 , , an ) и числа ai , i 1,2, n на-

зовем компонентами элемента a . Сумму двух таких конечных по-

следовательностей и произведение последовательности на число определим равенствами:

При таком определении нулевым вектором пространства Rn являет-

ся вектор o (0,0, ,0), а вектор, противоположный вектору a ,

имеет вид a ( a1, a2 , , an ). Пространство Rn часто еще называют пространством арифметических векторов. Это про-

странство будет в дальнейшем играть важную роль, поэтому на него необходимо обратить особое внимание.

Простейшие следствия аксиом линейного пространства

1.Линейное пространство имеет единственный нулевой вектор.

2.Для любого вектора a линейного пространства существует

единственный противоположный вектор.

3. Произведение числа 0 на вектор a совпадает с нулевым

вектором 0 a o .

4.Произведение любого действительного числа на нулевой вектор равно нулевому вектору o o .

5.Произведение числа 1 на вектор a равно противоположно-

му вектору ( 1) a a .

Мы не будем доказывать справедливость всех следствий, а по-

смотрим только, как доказываются первое и второе из них.

Доказательство первого следствия.

► Предположим, что линейное пространство имеет два различных нулевых вектора o1 и o2 . Тогда, полагая в третьей аксиоме сначала a o1, o o2 , а затем a o2 , o o1 , получим два равенства:

В силу первой аксиомы линейного пространства левые части двух равенств совпадают, т.е. в левой части двух равенств мы имеем один и тот же

вектор, поэтому o1 o2 . ◄

Доказательство второго следствия.

► Пусть некоторый вектор a имеет два различных противоположных век-

тора — обозначим эти векторы символами b и c . Тогда по четвертой ак-

сиоме a b o и одновременно a c o . Покажем теперь, что b и c совпадают:

bb o b (a c) (b a) c (a b) c o c c .◄

4.2.Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность и базис линейного пространства

Понятие линейной зависимости и линейной независимо-

сти векторов

Пусть a1,a2 , ,am есть некоторый пронумерованный набор векто-

ров линейного пространства, а 1, 2 , , m — произвольные дей-

ствительные числа.

Определение 4.2. Вектор 1 a1 2 a2 m am называется

линейной комбинацией векторов a1,a2 , ,am .

Определение 4.3. Векторы a1,a2 , ,am называются линейно неза-

висимыми, если из равенства

Определение 4.4. Векторы a1,a2 , ,am называются линейно зави-

симыми, если в равенстве (4.1) хотя бы один из коэффициентов

1, 2 , , m отличен от нуля.

В дальнейшем вместо слов «пронумерованный набор векторов» мы будем для краткости употреблять термин «семейство векторов».

При этом, например, слова «векторы линейно зависимы» или «се-

мейство векторов линейно зависимо» означают одно и то же — вы-

полнение условий определения 4.4.

Свойства линейно зависимых векторов

1) Если семейство векторов содержит нулевой вектор, то оно ли-

нейно зависимо.

► Пусть, например, нулевым является первый вектор семейства.

комбинации (1 при нулевом векторе) отличен от нуля. ◄

2) Если какая-нибудь часть элементов семейства a1,a2 , ,am ли-

нейно зависима, то тогда все семейство будет линейно зависимым.

► Предположим, что первые k векторов семейства линейно зави-

симы. Тогда, согласно определению 4.4,

1a1 2 a2 k ak o ,

где, например, коэффициент 1 0. К левой и правой частям по-

следнего равенства можно прибавить следующий нулевой вектор:

0 ak 1 0 ak 2 0 am o ,

и тогда

1 a1 2 a2 k ak 0 ak 1 0 am o ,

причем 1 0. Поэтому векторы a1,a2 , ,am линейно зависи-

мы.◄ 3) Семейство векторов линейно зависимо тогда и только тогда,

когда один из векторов семейства можно представить в виде ли-

нейной комбинации остальных векторов.

► Пусть семейство векторов линейно зависимо. Это по определе-

нию означает, что один из коэффициентов в равенстве (4.1) отличен от нуля. Предположим, например, что коэффициент 1 0. Тогда вектор a1 можно выразить через остальные векторы:

Предположим обратное, что один из векторов семейства , напри-

мер a1 , представлен в виде линейной комбинации остальных векто-

ров: a1 2a2 3a3 mam . Если теперь мы перенесем все слагаемые из правой части последнего равенства в левую, то придем