Глава 03 Прямая и плоскость

105

Глава 3

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

3.1.Системы координат

Предварительные замечания

Аналитическая геометрия изучает геометрические объекты,

в частности прямую и плоскость, при помощи аналитического мето-

да, основой которого является метод координат, впервые приме-

ненный Декартом1. Метод координат позволяет использовать для исследования геометрических объектов методы алгебры и матема-

тического анализа.

Понятия точки, прямой линии и плоскости относятся к на-

чальным понятиям геометрии. Как известно, эти понятия нельзя оп-

ределить, их можно только описать, например, на интуитивном уровне. При этом точка может быть описана как «маленький, ну

1 Рене Декарт (1596 − 1650) среди философов известен как великий философ, а среди математиков − как великий математик. С его именем связывают открытие системы координат и аналитической геометрии. Со времен Декарта алгебра и геометрия стали сотрудничать между собой к выгоде обоих дисциплин. Понятие координат было первым реальным фундаментальным вкладом в геометрию после древних греков.

очень маленький» след карандаша на бумаге, не имеющий ни дли-

ны, ни ширины, ни толщины. Логически безупречным способом введения указанных понятий является аксиоматический метод. На нем, кстати, базируется и метод координат, лежащий в основе ана-

литической геометрии. Чтобы иметь возможность ввести систему координат, прежде всего, необходимо установить взаимно однознач-

ное соответствие между множеством всех точек прямой и мно-

жеством всех вещественных чисел. Доказательство существования такого соответствия следует из аксиом геометрии и из аксиом

(свойств) вещественных чисел.

Полагая, что аксиоматический метод введения начальных понятий геометрии известен из школьного курса элементарной гео-

метрии, напомним лишь некоторые сведения, используемые далее.

Рассмотрим три множества неких объектов: объекты (эле-

менты) первого множества будем именовать точками и обозначать большими латинскими буквами A, B, C, …, объекты второго множе-

ства будем именовать прямыми и обозначать малыми латинскими буквами a, b, c,…, объекты третьего множества будем именовать

плоскостями и обозначать греческими буквами , , ,…

Между объектами этих трех множеств определяют три соот-

ношения: «принадлежит», «лежит между» и «конгруэнтен», кото-

рые обязаны удовлетворять известным двадцати аксиомам.

Что представляют собой объекты множеств и как будут вве-

дены соотношения, вообще говоря, безразлично, лишь бы при этом удовлетворялись указанные аксиомы.

В состав двадцати аксиом геометрии входят восемь аксиом принадлежности, четыре аксиомы порядка, пять аксиом конгруэнт-

ности, две аксиомы непрерывности и одна аксиома параллельности.

Из аксиом принадлежности следует, что

любые две различные точки определяют прямую, причем только одну;

существуют, по крайней мере, три точки, не принадлежа-

щие одной прямой;

любые три точки, не принадлежащие одной прямой, опреде-

ляют плоскость, причем только одну;

существуют, по крайней мере, четыре точки, не принадле-

жащие одной плоскости;

если две различные точки прямой принадлежат плоскости,

то этой плоскости принадлежат все точки данной прямой;

две различные прямые не могут иметь более одной общей

точки;

две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, которой принадлежат все их общие точки;

плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь больше одной общей точки;

через прямую и не лежащую на ней точку или через две раз-

личные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плос-

кость.

Аксиомы порядка позволяют упорядочить множество точек прямой и выбрать на этой прямой направление.

Будем говорить, что две различные точки A и B прямой a ле-

жат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки O той же прямой, если точка O лежит (не лежит) между A и B. Следовательно,

две различные точки O и E на любой прямой определяют на этой прямой луч (или полупрямую) OE, обладающую тем свойством, что любая её точка и точка E лежат по одну сторону от O. Выберем на прямой две различные точки O и E и определим порядок следования

точек прямой по следующему правилу:

когда A и B – любые точки луча OE, то A предшествует B,

если A лежит между O и B;

точка O предшествует любой точке луча OE;

точки, не принадлежащие лучу OE, предшествуют как точке

O, так и любой другой точке луча OE;

если точки A и B не принадлежат лучу OE, то A предшеству-

ет B, когда B лежит между A и O.

Легко проверить, при таком порядке следования точек пря-

мой справедливо свойство транзитивности: если A предшествует

B, а B предшествует C, то A предшествует C.

Две различные точки A и B определяют отрезок AB. Точки прямой, определяемой A и B, лежащие между A и B, называют точ-

ками отрезка AB, а точки A и B − его концами.

Из аксиом принадлежности, порядка, конгруэнтности и не-

прерывности следует, что

между всеми точками любой прямой и всеми вещественны-

ми числами существует взаимно однозначное соответствие, т.е.

каждой точке прямой соответствует определенное вещественное число, а каждому вещественному числу соответствует определен-

ная точка прямой;

разным точкам прямой ставятся в соответствие разные

числа.

Если x1, x2, x3, x4 − числа, предписанные соответственно точкам M1 , M2 ,M3 M4 , то

точка M1 лежит между точками M2 и M3 тогда и толь-

ко тогда, когда или x2 x1 x3 , или x2 x1 x3 ;

отрезки M1M2 и M3M4 конгруэнтны тогда и только то-

гда, когда x2 x1 x3 x4 .

Выписанные утверждения делают возможным измерение от-

резков и являются основанием для введения систем координат.

Декартовы координаты на прямой

Для того, чтобы ввести декартовы координаты на прямой,

следует задать на этой прямой определенное направление, выбрать некоторую точку O (начало координат) и указать единицу масштаба.

В этом случае прямая становится числовой осью. Направление и масштаб на прямой удобно задавать с помощью единичного вектора

(далее, как правило, будем обозначать его буквой i (или j , или

k )), линия действия которого параллельна прямой, а длина равна единице масштаба. Таким образом, числовая ось полностью опреде-

ляется точкой и единичным вектором2. Пусть M – произвольная

точка числовой оси с единичным вектором i .

Определение 3.1. Декартовой координатой x точки M числовой оси

называется число, равное длине вектора OM , взятой со знаком плюс, если направление OM совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление OM противоположно направлению

оси, т.е. OM x i .

То, что точка M имеет координату x, символически обозна-

чают как M(x).

Расстояние между точками M1(x1) и M2(x2) равно

M1M2 x2 x1 .

Введение декартовых координат на прямой представляет со-

бой один из способов, позволяющих установить взаимно однознач-

ное соответствие между точками прямой и множеством веществен-

ных чисел.

Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и

в пространстве

Зафиксируем некоторую точку O. Радиус-вектором любой

точки M по отношению к точке O называется вектор OM . Если вместе с точкой O зафиксирован и какой-либо базис, то точке M

2 Такой вектор называют ортом оси.

можно поставить в соответствие упорядоченную пару или тройку чисел – координаты её радиус-вектора по отношению к точке O.

Определение 3.2. Декартовой прямоугольной системой координат

называется совокупность точки и ортонормированного базиса.

Фиксированную точку системы координат называют нача-

лом координат. Координаты радиус-вектора точки M по отношению к началу координат в базисе системы координат называются коор-

динатами точки M в данной системе координат.

Таким образом, две перпендикулярные числовые оси на плоскости с общим началом и одной и той же масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоско-

сти, а три взаимно перпендикулярные числовые оси с общим нача-

лом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову пря-

моугольную систему координат в пространстве.

Числовые оси, проходящие через начало координат в на-

правлении базисных векторов (масштаб задается длиной базисных векторов) называются осями координат. Первая – осью Ox, или осью абсцисс, вторая – осью Oy, или осью ординат, третья (если она есть)

– осью Oz, или осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями соответственно xOy, xOz и yOz. Саму систему координат будем обозначать Oxyz.

Первая координата точки называется абсциссой, вторая – ордина-

той, а третья – аппликатой. Естественно, что точка на плоскости может иметь только две координаты – абсциссу и ординату. Коор-

динаты точки записывают в скобках после буквы, её обозначающей.

Например, запись A(2, 1) означает, что в некоторой фиксированной системе координат абсцисса точки A равна 2, а ордината 1.

В аналитической геометрии, как правило, используют систе-

мы координат с ортонормированным базисом, единичные векторы которого в пространстве образуют правую тройку3. На плоскости обычно используется ортонормированный базис4, у которого крат-

чайший поворот от первого вектора ко второму совершается против движения часовой стрелки. Далее в этой главе, обращаясь к декар-

товым прямоугольным системам координат, будем иметь в виду именно такие системы координат, не уточняя каждый раз их ориен-

тацию. Случаи, когда по каким-либо причинам необходимо работать с декартовой прямоугольной системой координат иной ориентации,

должны оговариваться особо.

Далее в этой главе, ради краткости, декартову прямоуголь-

ную систему координат будем называть просто системой координат.

Путаницы быть не может, так как другие системы координат здесь не используются.

Понятие об уравнениях поверхностей и линий

Важнейшим понятием аналитической геометрии являются понятия уравнений поверхности и линии.

3Его векторы обычно обозначают i, j, k .

4Его векторы обычно обозначают i, j .

Выражение вида F(x,y,z) 0 называется уравнением поверх-

ности S (в выбранной системе координат Oxyz) в том и только в том случае, когда оно обращается в верное числовое равенство при подстановке в него координат всех точек и только точек этой по-

верхности.

Линию в пространстве естественно рассматривать как пере-

сечение двух поверхностей. Если F1(x,y,z) 0 и F2(x,y,z) 0 суть уравнения двух поверхностей, пересечением которых является некая линия l , то, координаты любой точки, лежащей на линии l , удовле-

творяют обоим указанным уравнениям, при этом обоим указанным уравнениям не удовлетворяют координаты ни одной точки, не ле-

жащей на линии l .

Таким образом, два уравнения

F1(x,y,z) 0,F2(x,y,z) 0

совместно определяют линию l , т.е. являются уравнением этой ли-

нии.

Уравнение линии на плоскости определяется аналогично уравнению поверхности.

Выражение вида F(x,y) 0 называется уравнением линии l

(в выбранной системе координат Oxy) в том и только в том случае,

когда оно обращается в верное числовое равенство при подстановке в него координат всех точек и только точек этой линии.

114 Глава 3. Прямая и плоскость

Возможен и другой подход к понятию линии в пространстве и на плоскости, основанный на рассмотрении этой линии как пути,

пройденного материальной точкой, непрерывно движущейся по оп-

ределенному закону. Этот подход приводит к параметрическому

представлению линии в пространстве и на плоскости, заключающе-

муся в том, что координаты x, y и z ( x, y для плоскости) любой точки линии l задаются как три (две для плоскости) функции

x (t), y (t), z (t) ,

определяемых и непрерывных в некотором промежутке изменения параметра t . Конечно, этот способ определения линии в простран-

стве эквивалентен определению ее как пересечение двух поверхно-

стей.

По аналогии с параметрическими уравнениями линии вводятся па-

раметрические уравнения поверхности. Уравнения вида x (t,s), y (t,s), z (t,s)

называются параметрическими уравнениями поверхности, если для каждой точки M на поверхности существует пара чисел t, s , при которой координаты M получаются из этих уравнений, и наоборот,

для точки, не лежащей на поверхности, такой пары чисел не сущест-

вует.

Ниже речь пойдет о различных уравнениях плоскости и пря-

мой. Заметим, что говорить об уравнениях, неважно, плоскости,

прямой или иного геометрического объекта, можно только после того, как введена какая-либо система координат. Необходимо всегда