Лекция 2

2.1 Показатели тесноты и силы связи

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве показателя тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции r_ху.

Имеются разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

Линейный коэффициент корреляции находится в границах - 1 ≤ r_ху ≤ 1.

Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ≤ r_ху ≤ 1, и, наоборот, при b < 0, то -1 ≤ r_ху ≤ 0,

Величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в ее линейной форме.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции r²_ух, называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

Соответственно величина характеризует долю дисперсииу, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов (остаточная дисперсия).

Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем в большей степени уравнение регрессии пригодно для прогнозирования.

Величина коэффициента детерминации является одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные, и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции как измеритель тесноты линейной связи признаков логически связан с коэффициентом регрессии b, который является показателем силы связи.

Сделать коэффициенты регрессии сопоставимыми по разным признакам позволяет определение аналогичного показателя в стандартизованной системе единиц, где в качестве единицы измерения признака используется его среднее квадратическое отклонение (σ). Поскольку коэффициент регрессии b имеет единицы измерения дробные (результат/фактор), то умножив его на среднее квадратическое отклонение фактора х (σ_x) и разделив на среднее квадратическое отклонение результата (σ_y), получим показатель, пригодный для сравнения интенсивности изменения результата под влиянием разных факторов. Иными словами, мы придем к формуле линейного коэффициента корреляции:

Его величина выступает в качестве стандартизованного коэффициента регрессии и характеризует среднее в сигмах (σ_y) изменение результата с изменением фактора на одну σ_x.

Линейный коэффициент корреляции логически связан и с коэффициентом эластичности, который является показателем силы связи, выраженным в процентах.

При линейной связи признаков х и у средний коэффициент эластичности в целом по совокупности определяется как

Линейный коэффициент корреляции (r_xy) является показателем тесноты связи, а коэффициент регрессии (b_y/x) и коэффициент эластичности (Э_y/x) – показателями силы связи.

Коэффициент регрессии является абсолютной мерой, ибо имеет единицы измерения, присущие изучаемым признакам у и х, а коэффициент эластичности – относительным показателем силы связи, потому что выражен в процентах.