- •Лекция 2. Множественный регрессионный анализ
- •2.1 Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии
- •Основные гипотезы
- •2.2. Оценка параметров классической регрессионной модели методом наименьших квадратов.
- •2.3 Анализ вариации зависимой переменной в регрессии. Коэффициенты r2 и скорректированный
- •2.4 Проверка гипотез. Доверительные интервалы и доверительные области.
- •2.5 Отбор факторов в модель множественной регрессии
- •2.6 Прогнозирование по модели множественной регрессии.
- •2.8 Предпосылки мнк
- •2.9 Фиктивные переменные
2.6 Прогнозирование по модели множественной регрессии.
Прогнозирование по модели множественной регрессии проводится аналогично прогнозированию по модели парной регрессии.
Точечный прогноз для заданных значений факторов
находится по уравнению регрессии
где В – вектор-столбец оценок параметров уравнения регрессии.
Для построения интервального прогноза для заданного уровня доверительной вероятности нужно найти стандартную (среднюю ) ошибку прогноза se(yпр) и критическое значение t-статистики Стьюдента для степеней свободы и заданной доверительной вероятности.
Стандартная ошибка прогноза находится по формуле
где s – стандартная ошибка регрессии, для которой
X – матрица выборки значений факторов, - матрица-столбец прогнозных значений факторов.
Доверительный интервал прогноза задается формулой
2.8 Предпосылки мнк
Условия, необходимые для получения несмещенных, состоятельных и эффективных оценок представляют собой предпосылки МНК, соблюдение которых желательно для получения достоверных результатов регрессии.
К предпосылкам МНК относятся следующие условия:
- случайный характер остатков
- нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi
- гомоскедастичность (дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значенийх )
- отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатковраспределены независимо друг от друга
- остатки подчиняются нормальному распределению
Гетероскедастичность остатков означает, что дисперсия каждого отклонения неодинакова для разных значений
К тестам, позволяющим выявить наличие гетероскедастичности остатков относят тесты Гольдфельда-Квандта, ранговой корреляции Спирмэна, Уайта, Парка, Глейзера.
Шаги параметрического теста Гольдфельда-Квандта:
Шаг 1 Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной х
Шаг 2 Исключение из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом , гдеp – число оцениваемых параметров.
Шаг 3 Разделение совокупности из (n-C) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.
Шаг 4 Определение остаточной суммы квадратов для первой (и второй (групп и нахождение их отношения:, где.
К методам определения автокорреляции остатков относятся:
- визуальный (построение графика зависимости остатков от времени)
- аналитический (использование критерия Дарбина-Уотсона)
Если в остатках существует полная положительная автокорреляция то значение критерия Дарбина-Уотсона равно 0
Если в остатках существует полная отрицательная автокорреляция то значение критерия Дарбина-Уотсона равно 4
Если автокорреляция остатков отсутствует то значение критерия Дарбина-Уотсона равно 2
Шаги алгоритма выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона:
Шаг 1 Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят соответственно в наличии положительной
Шаг2 По специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0,4] разбивают на пять отрезков.или отрицательной автокорреляции в остатках.
Шаг3 Принимают или отклоняют каждую из гипотез с вероятностью (1- α) по соответствующей шкале.
Шаг4 Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н0
Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал от 0 доdL то можно сказать, что есть положительная автокорреляция остатков
Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал от (4-dL ) до 4. В этом случае можно сказать, что есть отрицательная автокорреляция остатков
Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал отdU до (4- dU). В этом случае можно сказать, что автокорреляция остатков отсутствует
В случае нарушений предпосылок метода наименьших квадратов применяют обобщенный метод наименьших квадратов, который используется для оценки параметров линейных регрессионных моделей с автокоррелированными и/или гетероскедастичными остатками
При использовании обобщенного метода наименьших квадратов расчеты параметров уравнения регрессии с учетом значений ковариационной матрицы остатков могут быть проведены по формуле