- •Раздел I. Основы теории множеств. Системы счисления. Комбинаторика
- •Глава 1. Множества, операции с ними. Алгебра множеств
- •1.1. Элементы и множества
- •1.2. Отображения, функции, предикаты
- •1.3. Метод математической индукции
- •1.4. Способы задания множеств
- •Перечисление
- •Задание с помощью логических функций (предикатов)
- •1.5. Предметные операции на множествах. Формула множества
- •1.6. Операции сравнения — логические операции с множествами
- •1.7. Алгебра множеств. Ее формулы, теоремы и законы
- •Глава 2. Мощность множеств
- •2.1. Мощность. Счетные множества
- •2.2. Множества мощности континуум
- •Глава 3. Бинарные отношения на множествах
- •3.1. Определение и способы задания отношений
- •3.1.1. Перечисление (список пар)
- •3.1.2. Матрица
- •3.1.3. Задание отношений при помощи предикатов
- •3.2. Аксиомы на отношениях
- •3.3. Основные типы отношений
- •3.3.1. Отношение эквивалентности
- •3.3.2. Отношение нестрогого (частичного) порядка
- •3.3.3. Отношение строгого порядка
- •3.4. Проверка типов отношений. Решение задач
- •Контрольные задания по теме
- •I. Общая теория множеств
- •Глава 4. Системы счисления
- •4.1. Позиционные системы счисления с постоянными основаниями. Представления целых чисел Рассмотрим общие правила представления количественных величин в позиционных системах счисления.
- •4.2. Переводы целых чисел в позиционных системах счисления
- •4.2.1. Перевод целых чисел из произвольной системы с постоянным основанием р 10 в десятичную систему
- •4.2.2. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в системы с произвольными постоянными основаниями p 10
- •4.2.5. Представление двоичной байтовой информации в шестнадцатеричной и десятичной системах
- •4.3. Дробные и смешанные числа в позиционных системах счисления с постоянными основаниями
- •4.3.1 Перевод правильных десятичных дробей в систему счисления с иным основанием p 10
- •4.3.2 Перевод правильных дробей из системы с основанием p 10 в десятичную систему счисления
- •4.4. Арифметические действия с целыми числами в системах с произвольными основаниями. Их компьютерное представление
- •4.4.1 Сложение
- •4.4.2 Вычитание
- •4.4.3. Прямой и дополнительный коды целых чисел. Их представление в памяти компьютера, сложение и вычитание
- •4.5. Двоичные (булевы) векторы
- •4.6. Смешанные позиционные системы счисления. Факториальная система
- •4.6.1. Перевод целых чисел из десятичной системы в смешанную с основаниями р0, р1, ... , рk
- •Глава 5. Комбинаторика
- •5.1. Основная задача комбинаторики. Характеристики комбинаторных задач
- •5.2. Основные правила подсчета чисел комбинаторных множеств
- •5.2.1. Правило сложения
- •5.2.2. Формула включений-исключений
- •5.2.3. Правило умножения
- •5.2.4. Правило учета сходства и различия
- •5.3. Размещения (размещения с повторениями)
- •5.4. Перестановки и размещения без повторений различных объектов. Упорядоченность перестановок
- •5.5. Перестановки и размещения без повторений групп одинаковых объектов
- •5.6. Сочетания
- •5.7. Понятие вероятности
- •Контрольные задания по теме
- •II. Системы счисления. Комбинаторика
Контрольные задания по теме
II. Системы счисления. Комбинаторика
В. 1. 1. Перевести в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и факториальную системы счисления число 65910.
2. Сколько трехзначных десятичных чисел (в том числе – с незначащими нулями) имеют в своей записи: а) ровно две одинаковых цифры, б) ровно три одинаковых цифры?.
В. 2 1. Перевести в системы счисления с основанием 2, 4, 8, 16 и 10 число 512110ф.
2. Имеется 8 объектов, из которых 2 - одинаковые, остальные попарно различны. Найти, сколькими вариантами можно расположить их на 9 местах.
В. 3. 1. Выполнить действия в системе счисления c основанием 8: 35768 + 346578 ; 37538 - 75718 ; 57283748 .
2. На 12 возможных местах необходимо разместить 2 станка типа А. 3 станка типа Б и 4 станка типа В. Сколько всего существует различных вариантов расположения? Ответ дать формулой.
В. 4. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 111110 .
2. Какое минимально возможное количество n различных объектов необходимо взять, чтобы они располагались на n местах не менее, чем 1000 различными вариантами.
В. 5. 1. Выполнить действия в системе счисления c основанием 5: 4353 ; 24125 : 305 ; 2315 425 .
2. Кодировка некоторого изделия состоит из 5 символов. Два первых означают в десятичной системе счисления номер модели изделия. Третий и четвёртый – независимо принимают значения 0 или 1 в зависимости от дополнительных признаков. На пятой позиции может находиться одна из букв A, B, C, D, E. Какое максимальное число видов изделий может быть закодировано с использованием данных обозначений ?
В. 6. 1. Выполнить действия в системе счисления c основанием 9: 64879: 259 ; 638529 - 872539 ; 3829 579 .
2. Рассматривается множество всех записей чисел в факториальной системе счисления длины 5. Найти, сколько единиц встречается в этих записях.
В. 7. 1. Представить дробь 0,410 в системе с основанием 7.
2. Из 24 спортсменов формируют команду из 6 человек. Найти общее число различных вариантов ее формирования в двух случаях: а) порядок участников имеет значение, б) не имеет значения. Ответ дать формулой.
В. 8. 1. Выполнить в системе счисления с основанием 9 следующие действия: 2859 – 7529 , 44279 + 87659 .
2. Найти, сколькими вариантами можно разместить 4 попарно различных и 3 одинаковых объекта на 10 разных местах. Сколько существует вариантов размещения при неразличимых местах?
В. 9. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 2342000ф.
2. Рассматривается множество всех векторов инверсий перестановок (1,2,3,4,5,6). Найти их суммарный вес.
В. 10. 1. Перевести дробь 0,437510 в восьмеричную систему счисления, а дробь 0,328 - в десятичную систему счисления.
2. В лотерее N номеров. Какова вероятность угадать в одном билете: а) ровно k, б) не более k номеров ? Ответ дать формулой.
В. 11. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 87210 .
2. Рассматривается множество всех перестановок (1, 2, 3, 4, 5). Найти, сколько раз в записи их векторов инверсий встречается цифра 2 .
В. 12. 1. Перевести дробь 0,610 в троичную систему счисления.
2. Из 12 юношей и 5 девушек необходимо составить смешанную эстафетную команду, состоящую из трех юношей и одной девушки. Сколько существует различных вариантов формирования при условии, что порядок участников в команде не имеет значения?
В. 13. 1. Перевести, используя соотношение 32 = 9, число 193210 в девятеричную , а затем в троичную системы счисления.
2. Какое число n различающихся мест необходимо взять, чтобы 3 одинаковых объекта располагались на них как минимум 210 способами.
В. 14. 1. Перевести в десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления число 522100ф.
2. На 10 различающихся местах помещают 8 объектов, из которых половина - одинаковые, остальные попарно различны. Найти число возможных вариантов расположения. Сколько вариантов размещения при одинаковых местах?
В. 15. 1. Выполнить следующие действия в шестнадцатеричной системе счисления: CF816 – D1B516 , 4EA216 + 8CD316 .
2. Рассматривается система счисления с основанием 7. Найти, сколько различных 5-значных чисел в ней можно записать при помощи нечётных цифр. Ответ дать формулой.
В. 16. 1. Перевести дробь 0,48 в троичную систему.
2. Рассматривается множество всех записей чисел в факториальной форме длины 6. Найти, сколько троек встречается в этих записях.
В. 17. 1. Перевести в десятичную систему счисления число 110011002 и в двоичную - число 5441100ф.
2. В накопителе А находится n различных деталей типа I, в накопителе Б - n различных деталей типа II. Из накопителей осуществляется упорядоченная поочерёдная выборка всех деталей. Вначале выбирают одну деталь из А, затем - из Б, потом снова из А и из Б и т.д. до тех пор, пока накопители не опустеют. Найти общее число всех возможных различных выборок данного вида в двух случаях: а) порядок выборки деталей имеет значение и б) не имеет.
В. 18. 1. Перевести число 1011011012 в факториальную систему счисления, число 45041010ф - в десятичную систему.
2. Какое минимально возможное количество n различных объектов необходимо взять, чтобы получить из них не менее 987 различных размещений из n по 4.
В. 19. 1. Перевести, используя минимальное число операций, число 99910 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и факториальную системы счисления.
2. Какое максимальное число различных объектов n можно взять, для того, чтобы число различных вариантов их расположения на 5 местах не превышало 800.
В. 20. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 45032010ф .
2. В походе участвуют 4 женщин и 4 мужчин. Найти, сколько существует вариантов их размещения в 4 различных двухместных байдарках при следующих условиях: а) в одной байдарке должен плыть один мужчина и одна женщина и б) в одной байдарке могут плыть любые два участники похода.
В. 21. 1. Выполнить действия в системе счисления с основанием 7: 45167 + 243517 ; 32517 - 65417 .
2. При распознавании элементов некоторого множества автоматизированная система независимо использует 7 логических признаков, принимающих значения ”да” или ”нет”, и 2 численные характеристики, изменяющиеся от 5 до 12 и от 23 до 41. Какое максимальное число элементов может распознать система?
В. 22. 1. Представить в восьмеричной системе дробь 0,810.
2. На 7 местах располагаются выборки из объектов, общее число которых равно 10, половина из них – одинаковы, половина – попарно различны. Найти общее число различных расположений. Ответ дать формулой.
В. 23. 1. Выполнить действия в шестеричной системе счисления: 342156 + 52436 ; 43256 - 55136 .
2. В некотором алфавите 20 букв. Сколько из них можно составить попарно различных слов длины 4, у которых одна и та же буква повторяется не более 2 раз? Ответ дать формулой.
В. 24. 1. Перевести в системы счисления с основаниями 2,7 и 16 число 165410.
2. Какое максимальное число n мест необходимо взять, чтобы 4 одинаковых объекта располагались на них не более, чем 250 способами?
В. 25. 1. Перевести дробь 0,37 в десятичную систему счисления. Ответ дать с точностью до четвёртого знака после запятой.
2. В левой и правой частях аудитории по 25 пронумерованных мест. На лекцию пришло 20 студентов первого курса, которые разместились слева, и 18 второкурсников, занявших места справа. Сколькими различными вариантами студенты могут занять отведённые им места в аудитории ? Ответ дать в виде формулы.
В. 26. 1. Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления число 331100ф.
2. На роторе станка находится 12 пронумерованных рабочих позиций. В них поочерёдно размещают детали вида I (общее их количество - 10) и детали вида II (которых всего 8). Сколько существует различных вариантов размещения деталей на роторе, если детали вида I попарно различны, а детали вида II – одинаковы. Ответ дать формулой.
В. 27. 1. Перевести дробь 0,610 в систему счисления с основанием 7. Ответ дать с точностью до пятого знака после запятой.
2. Сколько существует вариантов размещения 3 белых, 5 красных и 6 черных фишек на 17 различных местах? Ответ дать формулой.