Глава 5. Комбинаторика

Комбинаторикой называют математическую дисциплину, изучающую свойства множеств, которые можно построить из заданного базового набора дискретных объектов. Отдельные задачи количественного анализа таких множеств известны еще с древности. В современной комбинаторике рассматривается большое число общих и конкретных задач из области как естественных, так и гуманитарных наук. Необходимость в подобного рода подсчетах обычно возникает при определении вероятности, оценках, подсчетах, задачах планирования и т. д.

5.1. Основная задача комбинаторики. Характеристики комбинаторных задач

Обозначим через A начальное базовое множество дискретных объектов. В простейшем случае – это обычный набор объектов, заданный перечислением.

Способ порождения из заданного базового набора A новых множеств (комбинаторных множеств) называют комбинаторным правилом. Обозначим его через С. Полную совокупность комбинаторных множеств, которые могут быть образованы из A при помощи правила C, обозначим через C(А), а общее число комбинаторных множеств в ней обозначим через N(C(А)).

Поскольку комбинаторика, в первую очередь, рассматривает количественные свойства совокупностей комбинаторных множеств, то основную задачу комбинаторики (комбинаторного анализа) можно сформулировать следующим образом: по заданному базовому множеству объектов A и комбинаторному правилу C определить общее число элементов N(C(A)) в порождаемом комбинаторном множестве C(А).

Пример 1.

1) базовое множество A = {натуральные числа 3, 4, 5, 6, 7},

2) комбинаторное правило C = “подбор пары взаимно простых чисел из A”,

3) полная совокупность производных множеств (комбинаторное множество) C(А) = {(3, 4); (3, 5); (3, 7); (4, 5); (4, 7); (5, 6); (5, 7); (6, 7)},

4) число элементов в порождаемом комбинаторном множестве N(C(А)) = 8.

Для решения основной задачи комбинаторики о расчете N(C(А)) по заданным A и C в общем случае используются соотношения из теории множеств, алгебраические методы (в основном – составление рекуррентных соотношений), методы производящих функций и др. Ниже будут рассмотрены основные расчетные правила.

Чаще всего на практике требуется определить общее число вариантов расположения элементов заданного базового множества на выделенных местах либо выборки заданного множества объектов из некоторой более широкой совокупности. При формулировании комбинаторного правила C указываются простейшие условия на сходство или различие объектов в A, а также количественные ограничения на выборку.

Пример 2.

1) базовое множество A = {буквы, входящие в слово “абзац”},

2) комбинаторное правило C = “формирование пар различающихся букв из заданного слова”,

3) комбинаторное множество C(А) = {(а, б); (а, з); (а, ц); (б, з); (б, ц); (з, ц)},

4) число элементов в порождаемом комбинаторном множестве N(C(А)) = 6.

С точки зрения подсчета числа вариантов N(C(А)) всех комбинаторных объектов для заданного множества объектов A и выделенных мест для их расположения при заданном комбинаторном правиле C существенными являются следующие характеристики задачи.

1. Количественные характеристики: число объектов k и число мест n для их размещения. Параметр k называют объемом выборки.

2. Качественные характеристики: сходство либо различие, как между размещаемыми объектами, так и между выделенными для них местами.

Рассмотрим свойство 2) сходства-различия. Как правило, в каждой конкретной комбинаторной задаче вводятся явно или понятны из постановки существенные признаки объектов и мест, по значениям которых можно однозначно определить для них одинаковость, сходство (при совпадении всех существенных признаков) либо различие (все или часть признаков отличны).

Пример 3. Если при размещении студентов первого курса в актовом зале существенным признаком для студентов принять только курс обучения, то по нему все студенты (как объекты размещения) одинаковы. Если же существенным признаком являются паспортные данные, то по нему все студенты различны. Аналогично, если для каждого кресла в актовом зале учитывается его ряд и место в нем, то все места для размещения в задаче подсчета следует считать различными. Если же положение кресел в зале не важно, то в задаче все места для размещения будут одинаковы.

Пример 4. Рассмотрим процесс образование новых слов из заданного путем перестановки в нем букв. В данной задаче у слова «абзац» две буквы «а» на первой и четвертой позиции неразличимы, поскольку при их перестановке слово остается прежним, т. е. не возникает новый комбинаторный объект. Перестановка любых других пар букв порождает новое слово, поэтому в данной задаче они являются различными.

Поскольку свойства дискретных наборов и способы формирования множеств из них различны, то при определении общего количества конкретных вариантов множеств необходимо уметь правильно сводить реальные практические задачи к стандартным расчетным схемам и применять соответствующие методы подсчета.