Раздел II. Математическая логика

С современной точки зрения основной задачей логики является изучение правильности рассуждений, применяемых в повседневности и научных дисциплинах, безотносительно к изучаемым в них объектам.

Изначально логика возникла как часть риторики ― науки убеждения. Она была необходима для обоснования методов рассуждений, применяемых при доказательстве правоты в спорах. Особенно востребованными риторика и люди, владеющие ей ― софисты, были в Древней Греции, где в городах утверждались демократические элементы жизни и было принято отстаивать свою точку зрения в диспутах. Софисты умели, как искусно доказывать самые различные утверждения, так и опровергать их.

В Древней Греции впервые были формально рассмотрены основные понятия логики и причины истинности или ложности заключений, получаемых из истинных посылок. Основателем европейского направления в логике считают Сократа, выдвинувшего на первый план метод поиска истины. Первое же систематизированное изложение логики дано Аристотелем, построившим теорию силлогизмов ― способов построения умозаключений.

Новый импульс развитие логики получило в ХVIII-ХIХ веках, когда в результате развития естественных наук выявилось сходство применяемых в них методов рассуждений. Первая попытка математизации логики сделана Лейбницем. Однако широкое использование математических методов началось в середине ХIХ века после применения в логике Дж. Булем математических обозначений. Это позволило упростить использование логических методов и в дальнейшем способствовало получению ряда глубоких прикладных и общетеоретических результатов.

Математическая логика ― самостоятельная часть логики, использующая математические методы исследований и изучающая основания математики и принципы построения математических теорий.

Основное практическое назначение математической логики заключается в применении ее методов для разработки цифровых управляющих и вычислительных устройств, а также методов обработки информации.

Глава 1. Алгебра логики

1.1. Объекты изучения алгебры логики. Булевы константы, переменные и векторы

Алгеброй логики называют раздел математической логики, объектами которого являются высказывания, а также изучаются операции с ними.

Простым высказыванием является любое утверждение на естественном или формальном языке, которое:

1) выражает одну законченную мысль

2) о котором имеет смысл говорить, истинно оно либо ложно.

Истину обозначают через И, ложь – через Л (англ. – T (true), F (false)). При математическом обозначении И заменяют на 1, Л – на 0. Допустимое в алгебре логики (двухзначной логике) множество значений истинности обозначают как E₂ = {0, 1}.

Если высказывание всегда истинно (равно 1) либо всегда ложно (равно 0), то его называют константой. Логические константы обычно обозначают строчными или прописными начальными буквами латинского алфавита, при которых также используют нижние индексы. Например: a, b, c, A, B, b₁, c₂, A₂.

Если высказывание может принимать оба логических значения (и 0, и 1), то его называют переменным (логической переменной). Логические переменные обозначают строчными и прописными средними буквами латинского алфавита (с индексами и без них), например: x, у, z, Х, Y, Z, x₁, z₂, Y₃.

Пример 1. Проанализируем фразы естественного языка с точки зрения их логического содержания.

а) а = «99 – самое большое натуральное число» – высказывание – булева константа, а  0;

б) b₁ = «99 – самое большое двузначное натуральное число» – булева константа, b₁  1;

в) x = «Треугольник является прямоугольным» – булева переменная, поскольку x может принимать значения и 0, и 1;

г) приказ «встать!» – фраза не является высказыванием, поскольку не предполагается ее обсуждение и оценка истинности.

Наряду с фразами на естественном языке, простыми высказываниями (логическими константами и переменными) являются также математические соотношения, содержащие свои операции сравнения объектов – например:

1) арифметические условные выражения, в которых сравниваются числовые вещественные константы и переменные,

2) формулы теории множеств, в которых сравниваются множества.

Пример 2. Проанализируем следующие условные арифметические выражения: 1) (x² + y² < 0); 2) (x < y); 3) (x² + y²  10).

Условие 1) (x² + y² < 0) является логической константой-ложью, поскольку при всех вещественных x и y оно не выполняется.

При (x = 1, y = 2) условие 2) (x < y) истинно, поскольку 1 < 2, а условие 3) (x² + y²  10) ложно, так как 1² + 2² = 5 < 10.

При (x = 4, y = 2) условие 2) (x < y) ложно, поскольку 4 > 2, а условие 3) (x² + y²  10) истинно, так как 4² + 2² = 20 > 10.

То есть условия (x < y) и (x² + y²  10) являются логическими переменные.

Объектами алгебры логики (булевой алгебры) являются высказывания.

Определение. Высказыванием называется любое утверждение, о котором имеет смысл говорить, истинно оно либо ложно.

Истина обозначается И, ложь ― через Л. При математическом обозначении вместо И используется 1, вместо Л ― 0. Множество значений истинности E₂ = {0, 1}. По числу значений истинности алгебра логики называется также 2 – значной логикой.

Высказывания обычно обозначаются латинскими буквами.

Определение. Если высказывание всегда истинно (равно 1), либо всегда ложно (0) , то оно называется булевой константой.

Если высказывание может принимать оба истинностных значения (и 0 и 1), то оно называется булевой переменной.

Примеры.

1) а = «999 ― самое большое натуральное число» ― булева константа, а  0 ,

2) b = «999 - самое большое 3-значное натуральное число» ― булева константа, b  1 ,

3) с = «сегодня выходной день»― булева переменная, поскольку с может принимать значения и 0 и 1 ,

4) d = «дом большой» ― фраза не является высказыванием, поскольку не ясно, какой дом можно считать большим,

5) е = «дом имеет 12 этажей» ― булева переменная.

Определение. Рассмотренные выше высказывания являются простыми, так как они выражают одну законченную мысль. Более сложные высказывания называют составными.

Определение. Векторхⁿ = (х ₁, ... , х _n ), у которого каждая компонента х_iE₂ (1  i  n) называется двоичным или булевым.