- •Раздел I. Основы теории множеств. Системы счисления. Комбинаторика
- •Глава 1. Множества, операции с ними. Алгебра множеств
- •1.1. Элементы и множества
- •1.2. Отображения, функции, предикаты
- •1.3. Метод математической индукции
- •1.4. Способы задания множеств
- •Перечисление
- •Задание с помощью логических функций (предикатов)
- •1.5. Предметные операции на множествах. Формула множества
- •1.6. Операции сравнения — логические операции с множествами
- •1.7. Алгебра множеств. Ее формулы, теоремы и законы
- •Глава 2. Мощность множеств
- •2.1. Мощность. Счетные множества
- •2.2. Множества мощности континуум
- •Глава 3. Бинарные отношения на множествах
- •3.1. Определение и способы задания отношений
- •3.1.1. Перечисление (список пар)
- •3.1.2. Матрица
- •3.1.3. Задание отношений при помощи предикатов
- •3.2. Аксиомы на отношениях
- •3.3. Основные типы отношений
- •3.3.1. Отношение эквивалентности
- •3.3.2. Отношение нестрогого (частичного) порядка
- •3.3.3. Отношение строгого порядка
- •3.4. Проверка типов отношений. Решение задач
- •Контрольные задания по теме
- •I. Общая теория множеств
- •Глава 4. Системы счисления
- •4.1. Позиционные системы счисления с постоянными основаниями. Представления целых чисел Рассмотрим общие правила представления количественных величин в позиционных системах счисления.
- •4.2. Переводы целых чисел в позиционных системах счисления
- •4.2.1. Перевод целых чисел из произвольной системы с постоянным основанием р 10 в десятичную систему
- •4.2.2. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в системы с произвольными постоянными основаниями p 10
- •4.2.5. Представление двоичной байтовой информации в шестнадцатеричной и десятичной системах
- •4.3. Дробные и смешанные числа в позиционных системах счисления с постоянными основаниями
- •4.3.1 Перевод правильных десятичных дробей в систему счисления с иным основанием p 10
- •4.3.2 Перевод правильных дробей из системы с основанием p 10 в десятичную систему счисления
- •4.4. Арифметические действия с целыми числами в системах с произвольными основаниями. Их компьютерное представление
- •4.4.1 Сложение
- •4.4.2 Вычитание
- •4.4.3. Прямой и дополнительный коды целых чисел. Их представление в памяти компьютера, сложение и вычитание
- •4.5. Двоичные (булевы) векторы
- •4.6. Смешанные позиционные системы счисления. Факториальная система
- •4.6.1. Перевод целых чисел из десятичной системы в смешанную с основаниями р0, р1, ... , рk
- •Глава 5. Комбинаторика
- •5.1. Основная задача комбинаторики. Характеристики комбинаторных задач
- •5.2. Основные правила подсчета чисел комбинаторных множеств
- •5.2.1. Правило сложения
- •5.2.2. Формула включений-исключений
- •5.2.3. Правило умножения
- •5.2.4. Правило учета сходства и различия
- •5.3. Размещения (размещения с повторениями)
- •5.4. Перестановки и размещения без повторений различных объектов. Упорядоченность перестановок
- •5.5. Перестановки и размещения без повторений групп одинаковых объектов
- •5.6. Сочетания
- •5.7. Понятие вероятности
- •Контрольные задания по теме
- •II. Системы счисления. Комбинаторика
4.4. Арифметические действия с целыми числами в системах с произвольными основаниями. Их компьютерное представление
Алгоритмы выполнения арифметических операций с целыми числами в системах счисления с произвольными основаниями вида p 10 аналогичны правилам в десятичной системе счисления с учетом того, что вес (стоимость) одной единицы каждого старшего разряда равен p единицам предшествующего младшего разряда. При ручном выполнении операций сложения и вычитания чисел в системах с постоянными основаниями используют их запись ”столбиком”.
4.4.1 Сложение
Записываем одно число под другим таким образом, чтобы разряды с одинаковыми номерами располагались друг под другом. Складываем поразрядно, передвигаясь от нулевого разряда к старшим. При переполнении в разряде (p единиц и более) вычитаем из него p единиц, а одну единицу добавляем в следующий старший разряд. При сложении чисел, представленных в разных системах счисления, их предварительно необходимо привести в одну систему счисления.
Пример 1. Сложить числа 10112 и 101012.
Решение. p = 2. Записываем одно число под другим таким образом, чтобы разряды с одинаковыми номерами располагались друг под другом. При переполнении в разряде (2 единицы) из него вычитаем две единицы, а одну единицу добавляем в следующий по порядку старший разряд. Добавляемые единицы указываем вверху записи.
11111
1011
+ 10101
100000
В итоге получим:
10112 + 101012 = 1000002.
Ответ:1000002.
Пример 2. Сложить числа 7C6A16 и BD65E16. Ответ дать в десятичной системе счисления.
Решение. p = 16. Добавляемые единицы указываем вверху записи.
11 1
7C6A
+ BD65E
С52C8
При поразрядном сложении:
разряд 0: A16 + E16 = 10 + 14 = 24 = 16 + 8; в разряде ставим 8 и переносим 1 в разряд 1;
разряд 1: 616 + 516 + 1 = 12; в разряде ставим 12 = C16;
разряд 2: C16 + 616 = 12 + 6 = 18 = 16 + 2; в разряде ставим 2 и переносим 1 в разряд 3;
разряд 3: 716 + D16 + 1 = 7 + 13 + 1 = 21 = 16 + 5; в разряде ставим 5, переносим 1 в разряд 4;
разряд 4: B16 + 1 = 11 + 1 = 12 = C16.
В шестнадцатеричной системе счисления сумма равна С52С816. Переводя ее по правилу 2.1.3 в десятичную систему счисления (с использованием разложения числа по степеням 16), получим:
С52С816 = 12 164 + 5 163 + 2 162 + 12 161 + 8 160 = 12 6553610 + +5 409610 + 2 25610 + 12 1610 + 8 = 78643210 + 2048010 + 51210 + 19210 + 8 = = 80762410.
Ответ:7C6A16+BD65E16 = 80762410.
Пример 3. Сложить числа CA616 и 14358. Ответ дать в системе счисления с основанием 4.
Решение. Переведем оба слагаемых в систему счисления с основанием p = 4. Первое слагаемое переводим по упрощенному способу, в котором шестнадцатеричные цифры сразу представляем в четверичной системе счисления:
C16 = 304; A16 = 224; 616 = 124; CA616 = 3022124.
Второе восьмеричное слагаемое переведем по общим правилам 4.2.3, 4.2.4 через двоичную систему счисления:
14358 = 11000111012 = 301314.
Сложение выполняем в четверичной системе счисления. Добавляемые единицы указываем в верху записи.
11
302212
+ 30131
333003
Ответ:CA616 + 14358 = 3330034.